5.2. Классическое и статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события предпола­гает, что:

1. число элементарных исходов конечно;

2. все эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы или объединения равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иног­да более удобное для приложений.

Рассмотрим пример. Пусть в урне 10 одинаковых по разме­ру шаров, из них два белых, три черных и пять красных. Слу­чайный опыт заключается в том, что вынимается наугад один шар. При этом шар может оказаться белым или черным, или красным. Будем в каждом опыте вытаскивать шар, фиксировать его цвет, опускать вынутый шар обратно в урну и тщательно перемешивать там шары. В результате каждого проведенного опыта можно вытащить шар любого из трех возможных цве­тов: событие А₁ — вынут белый шар, А₂ — вынут черный шар, А₃ — красный шар.

Если проводить такой опыт значительное число раз (п — велико), то окажется, что примерно в половине случаев вынули красный шар, в двадцати процентах случаев — белый, а в трид­цати — черный. По мере увеличения числа проведенных опы­тов уверенность в соотношении шансов возможных событий, соответственно 5:2:3, будет подтверждаться со все большей точностью.

Частота появления каждого из возможных событий, или относительная частота события:

P=

где i = .

При числе испытаний п относительная частота события колеблется около некоторого постоянного числа Р, называемого статистической вероятностью:

Р(А_i)=lim

Пример 12.

В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность поражения цели стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелах?

Решение.

1. Используя статистическое определение вероятности, имеем: Р=190/200≈0,9506 (95%).

2. Число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет 1000*0,9506=951

5.3. Операции над вероятностями

Рассмотрим вопрос о подсчете вероятностей суммы и произведения событий.

Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.

1. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

2. Вероятность суммы (объединения) двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления, то есть формулой: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АžВ).

Пример 13. Стрелок производит выстрел по мишени, состоящей из центрального круга и концентрического кольца. Вероятность попадания в круг – 0,35, а в кольцо – 0,3. Найти вероятность попадания стрелком в мишень.

Решение. Попадания стрелком в центральный круг и кольцо – события несовместные. Попадание в мишень – сумма этих событий. Поэтому вероятность попадание в мишень, т.е. либо в круг, либо в кольцо, равна сумме вероятностей этих попаданий: 0,35+0,3=0,65.

Из теоремы сложения вероятностей можно вывести следующие следствия.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1, где события А, В, ..., N образуют полную группу.

Действительно, так как события А, В, ..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В + ... +N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В+...+N) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А: P( ) = 1 - P(A).

Рассмотрим случайное событие А и противоположное ему . Эти события составляют полную группу и, значит, их сумма является достоверным событием. Кроме того, события А и - несовместные. Поэтому P(A+ )=P(A)+P( )=1. Отсюда вероятность события равна: P( )=1 - P(A).

При решении некоторых задач на нахождение вероятности случайного события пользуются следствием 2. В этих задачах бывает намного легче посчитать не вероятность заданного случайного события, а вероятность противоположного ему.

Пример 14. (Задача Шевалье де Мере). В конце XVII века во Франции была популярна азартная игра в кости, условие которой состояло в следующем. Пара костей бросалась 24 раза. Можно было делать ставку либо на появление «двойной шестерки», по крайней мере, один раз, либо против этого результата. Французский вельможа Шевалье де Мере, азартный игрок, попытался математически подсчитать, на что выгоднее ставить, используя известные к этому времени правила теории вероятности. Вычисления привели его к заключению, что в 24 бросках вероятность появления «двойной шестерки» хотя бы один раз больше 0,5. Поэтому выгоднее ставить на появление этого случайного события. Будучи абсолютно уверенным в своих вычислениях, Шевалье де Мере сомневался в истинности использованных математических теорем. Для проверки полученного результата он произвел достаточно большое количество испытаний данной игры. Оказалось, что «двойная шестерка» выпала меньше, чем в 50 % партий. Получив очевидное расхождение практического и теоретического результатов, де Мере написал гневное письмо известному математику Блезу Паскалю. В нем утверждалось, что математика как наука никуда не годится.

Паскаль решил задачу де Мере и его ответ был следующим: вероятность появления двойной шестерки хотя бы один раз при 24 бросках двух костей равна 0,491, что меньше половины. Оказалось, что де Мере просто совершил ошибку в математических подсчетах, а его эмпирический результат согласуется с правильным ответом теории вероятности.

Решение Паскаля было следующим. Количество элементарных исходов при однократном броске двух костей равно 6×6=36. При двух бросках, согласно правилу умножения исходов в комбинаторике, число элементарных исходов 36×36, при 24 бросках - . Для решения задачи нужно подсчитать количество благоприятных исходов, в которых двойная шестерка появится хотя бы раз. Однако значительно проще определить число исходов, в которых «двойная шестерка» вообще не появится. При одном броске таких исходов 35, а в серии 24 бросках . Таким образом, вероятность не появления шестерок на двух костях . А вероятность искомого события, противоположного этому, 1 - 0,509= 0,491.

Можно предположить, что де Мере не применял данную формулу и подсчитывал количество элементарных исходов, в которых появится хотя бы одна «двойная шестерка», напрямую. Произвести же ряд вычислений числа исходов с шестерками сначала только в одной партии из 24, затем в двух, трех, четырех и так далее без ошибки ему не удалось.

Пример 15. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем ве­роятность поражения цели первым стрелком – 0,8, а вторым стрелком – 0,7. Оба стрелка стреляют один раз независимо друг от друга. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из них?

Решение (как окажется только начало).

Обозначим случайное событие А — попадание в цель первым стрелком, В — попадание в цель вторым стрел­ком. Нам необходимо найти вероятность суммы событий А + В, т.е. поражение цели хотя бы одним стрелком. Если мы просто сложим вероятности Р(А) и Р(В), то получим значение вероятности 1,5, большее единицы. Что же мы сделали неправильно? Оказывается, события А и В – совместные. Действительно, в одном и том же испытании (одновременном выстреле) возможны попадание в цель и первым, и вторым стрелком. Значит, для расчета из суммы вероятностей событий А и В необходимо вычесть вероятность произведения этих событий.