Правила действий над событиями

Объединением (суммой) событий А₁, А₂, ... А_n называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий:

А = А₁ А_{2 …} . А_n =А₁+А₂+... + А_п.

Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются только номе­ром (1, 2, 3 и т. д.). Пусть событие А_i— «наугад выбрать шар под номером i». Тогда событие А = А₁ + А₃ + A₅ состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т. е. с нечетным номером.

Пересечением (произведением) событий А₁, А₂, ... А_n на­зывается событие В, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий:

В = А₁ А₂ ... А_n = А₁ А₂ ... А_n

Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая — черных с такими же номерами. Пусть событие А — «вынуть белый шар», событие В — «вынуть шар с нечетным номером». Тогда событие С= А В означает «вынуть белый шар и с нечетным номером».

Два события А и В, пересечение которых – невозможное событие, называются несовместимыми событиями.

Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее и событию А, и событию В.

Рассмотрим пару событий: А – выпадение герба при подбрасывании монеты, В – невыпадение герба при подбрасывании монеты. Объединение этой пары событий – достоверное событие, пересечение этой пары событий – невозможное событие.

Если объединение событий А и В – достоверное событие, а пересечение - невозможное событие, то события А и В называются противоположными. Это записывается таким образом: .

Аксиомы теории вероятностей

Числовая функция Р(А) называется вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Вероятность Р(А) есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей: 0 < Р(А) < 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

5.2. Классическое определение вероятности

Рассмотрим полную группу из п несовместных равновозможных событий.

Примерами таких групп являются число очков при броса­нии игральных костей, число попаданий в мишень при выстре­лах, проводимых в одинаковых условиях, появление шара с за­данным номером при наличии в урне нескольких неразличи­мых на ощупь шаров.

Пусть среди всех п возможных исходов опыта, только т исходов, образующих m-подмножество в полной группе, вле­кут за собой наступление события А. Случаи, входящие в т-подмножество, будем называть благоприятными.

Например, в урне два белых, три черных и пять красных одинаковых на ощупь шаров. Будем считать благоприятным выбор белого шара; таких случаев два. Появление же черного или красного шара — случай неблагоприятный; таких случаев восемь.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятных событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий определяемого данным испытанием:

Р(А)= , где т — число элементарных исходов, благоприятных событию А,

п — общее число всех элементарных равновозможных исхо­дов опыта, 0 т п.

Алгоритм применения классической формулы для вычис­ления вероятностей при решении задач следующий:

1) удостовериться в том, что возможные исходы образуют множество несовместных равновозможных элементарных событий;

2) выбрать интересующее случайное событие А;

3) вычислить число возможных исходов (п) и число благоприятных исходов (т);

4) вычислить искомую вероятность Р (А).

Пример 1.

Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Решение.

1) Пусть событие А — выпадение четного числа очков. Таких исходов может быть три — числа 2, 4 или 6, т. е. т = 3.

2. Общее количество возможных исходов п = 6.

3. Получаем: Р(А) = = 0,5.

Пример 2.

Монета бросается один раз. Какова вероятность выпадения герба?

Решение.

Рассуждая по аналогии с предыдущей задачей, имеем: т = 1, п = 2,

Искомая вероятность Р(А) = = 0,5.

Пример 3.

Монета бросается два раза. Какова вероятность:

1. выпадения орла хотя бы один раз (событие А);

2. двукратного выпадения орла (событие В)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь явля­ются: ОО, ОР, РО, РР; число их.

2. Событию А благоприятствуют исходы ОО, ОР, РО, чис­ло которых т =3. Следовательно: Р(А) = = 0,75.

3) Событию В благоприятствует один исход ОО {т^,=1). Поэтому:

Р(В) = = 0,25.

Пример 4.

Опыт заключается в подбрасывании двух монет: медной и серебряной. Какова вероятность того, что хотя бы на одной мо­нете выпадет орел?

Решение.

1) Равновероятными элементарными исходами опыта являются следующие:

w₁— орел выпал на обеих монетах; w₂ — орел выпал только на медной монете; w₃ — орел выпал только на серебряной монете; w₄ — орел не выпал ни на одной монете; т. е. п = 4.

2) Благоприятствуют событию А (появлению орла хотя бы на одной монете) исходы w₁ w₂ w₃, т. е. т = 3.

3) Получаем: Р(А) = = 0,75.

Пример 5.

В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают один шар. Какова ве­роятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выра­жения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе ре­шения.)

Решение.

1. В этой задаче рассматривается следующий опыт: из ящика наугад вынимают шар и смотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч= «вынутый шар черный» и Б = «вынутый шар белый». Но эти исходы не­равновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше.

2. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесем в опыт дополнительный элемент, не нарушаю­щий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а черным — номера с 13 по 20.

3. События А_к = «вынут шар с номером k» уже равновероят­ны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов на­шего опыта. Следовательно, п = 20, а интересующему нас со­бытию В = «вынутый шар белый» благоприятствуют первые 12 исходов, т. е. т = 12.

Получаем: Р(В) = = 0,6.

4) Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» состоит в том, что введенные события А_к равновероятны.

При решении задач вычисления вероятностей часто оказываются полезными формулы комбинаторики (тема 4).

Пример 6.

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь явля­ются пары (х, у), где х и у принимают значения 1,2, 3,4, 5 или 6. Общее число элементарных исходов п = 36 (см. пра­вило произведения).

2. Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых т = 5.

3) Получаем: Р(А) = = 0,13(8).

Пример 7.

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние циф­ры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение.

1) Две последние цифры можно набрать числом способов, равным числу упорядоченных двухэлементных подмножеств у десятиэлементного множества (множества всех цифр). Это число способов равно А₁₀² (см. размещения). Следовательно, всего существует п = исходов.

2. Благоприятствует событию А (цифры набраны верно) только один исход (т = 1).

3. Получаем: Р(А) = = 0,0(1).

Пример 8.

Среди 40 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение.

1) Выбор трех ламп из 40 — это число сочетаний из 40 по 3 (С₄₀³), так как порядок выбора ламп не имеет значения. Лампы выбирают наудачу. Это означает, что все эти способы выбора (все исходы) равновероятны. Имеем число возможных исходов:

n=

2) Число благоприятных исходов — это три лампы из 35 исправных, т. е. число сочетаний из 35 по 3:

m=

3) Искомая вероятность Р(А) = = 0,662.

Пример 9.

Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Не­грамотный мальчик перемешал буквы и потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять собрал слово «книга»?

Решение.

1) Введем обозначение: событие А — собрано слово «книга».

2. В этом опыте элементарными событиями будут все воз­можные перестановки из пяти различных букв к, н, и, г, а. Чис­ло таких перестановок: Р₅ =5!=120 = п .

3. Только в одном из этих случаев будет составлено слово «книга», т. е. т = 1.

4) Получаем: Р(А) = = 0,008(3).

Пример 10.

На полке стоят 6 одинаковых банок: 3 с зеленой краской и 3 — с красной. Наугад берут три банки. Какова вероятность того, что эти банки содержат краску одного цвета?

Решение.

1. Составим вероятностную модель данного опыта. Будем считать, что банки занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, при этом первые три содержат зеленую краску, а последние три — красную. Тогда естественно считать, что элементарным исхо­дом нашего опыта является тройка выбранных чисел, причем порядок чисел неважен.

2. Количество возможных исходов — это число сочетаний из 6 по 3, т. е. п = С³₆ = 20.

3. Благоприятных исходов два, а именно (1, 2, 3) и (4, 5, 6), т. е. т = 2.

Пример 11.

На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготов­лены заводом «Рубин». Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых кинескопов окажутся 3 кинескопа завода «Рубин».

Решение.

1. Элементарным исходом следует считать пятерку выбран­ных кинескопов.

2. Общее число исходов п = С₁₅⁵ = 3003.

3. Подсчитаем число благоприятных исходов. При благопри­ятных исходах среди выбранных кинескопов должны быть: q₁-3 кинескопа завода «Рубин» и q₂-2 кинескопа других заводов. То есть благоприятные исходы т — это произведение q₁• q₂, так как именно произведение соответствует логическому и (см. раздел, посвященный логическим операциям).

4)3 кинескопа завода «Рубин» из 10 можно выбрать С₁₀³ = 120 способами.

2 кинескопа других заводов выбираем из 15 - 10 = 5: число сочетаний — С₅² =10.

т = С₁₀³• С₅² = 120 • 10 = 1200.

5) Искомая вероятность Р(А) = = 0,3996.