Упражнения для самостоятельного выполнения:

Правило суммы и произведения

1. В магазине имеется 6 сортов конфет и 4 сорта печенья. Сколько различных покупок, содержащих один сорт конфет и один сорт печенья, можно сделать в этом магазине?

2. На книжной полке стоят 10 книг по математике, 8 по физике, 3 по химии и 2 по литературе. Сколькими способами можно выбрать 4 книги так, чтобы они были разные?

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КАМЫШ»?

Число векторов длины k над множеством А(n)

1. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1,2,3,4 и 5, если все цифры могут повторяться?

2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Общее число подмножеств множества А(n)

1. В некотором государстве нет жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства? (Наибольшее число зубов принять равным 32)

Размещения

1. В группе 20 человек. Необходимо избрать старосту, профорга и культорга. Сколькими способами можно образовать эту руководящую тройку, если одно лицо может занимать только один пост?

2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

Перестановки

1. Сколько различных слов, каждое из которых состоит из 7 букв, можно составить из слова «СОБЫТИЕ»?

2. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместной каюте?

3. Сколько различных шестизначных чисел можно написать при помощи цифр 0,1,2,3,4,5? Цифры в числе не должны повторяться.

Сочетания

1. Сколько различных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

2. В розыгрыше первенства по футболу приняло участие 10 команд. Каждая команда играла с каждой из остальных команд по одному раз. Сколько матчей было сыграно в розыгрыше?

3. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10.

• Сколькими различными способами это можно сделать?

• В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

• В скольких случаях среди этих карт окажется ровно один туз?

• В скольких случаях среди этих карт окажется 4 туза?

Выборки с повторениями

1. Имеется 8 шаров: 3 красных, 2 белых, 2 синих и 1 черный. Сколькими различными способами можно разложить их в один ряд?

2. На одной из железнодорожных станций 9 пассажиров должны были войти в 3 вагона. Сколькими способами можно провести это размещение?

3. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 8 открыток? из 12 открыток?

4. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова «МАТЕМАТИКА»?

Тема 5. Случайные события и их вероятности

5.1. Основные понятия теории вероятностей

В теории вероятностей событием А называют все то, что может произойти или не произойти при реализации некоторого комплекса условий С. Событие наступает в результате наблюдений или осуществления опытов (экспериментов).

Примеры событий:

А₁ — выпадение нечетного числа очков при игре в кости;

А₂ — появление решки при бросании монеты;

А₃ — выход из строя компьютера после восьми часов работы;

А₄ — замерзание воды при отрицательной температуре;

А₅ — после января следует апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что воз­можность их появления различна. Одно событие (А₄) происхо­дит всегда, другое (А₅) никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий С событие А всегда происхо­дит, то оно называется достоверным (событие А₄). Если же со­бытие при заданных условиях никогда не наступает, то его на­зывают невозможным (событие А₅).

Если в результате опыта при осуществлении определенно­го комплекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (эксперимен­том). Очевидно, что после бросания игральной кости нечетное число может выпасть, но оно может и не выпасть. Через восемь часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя.

Элементарными называют события, не разложимые на более простые.

Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество Q всех эле­ментарных событий w_i. образует пространство элементарных событий, или полную группу событий. Например, при бро­сании игральной кости множество элементарных событий об­разует полную группу из шести элементарных событий w_i (вы­пало одно очко, выпало два очка и т. д.):

Q = { w₁ =1, w₂ =2, w₃=3, w₄ =4, w₅ =5, w₆ =6}. Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные, или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события w₁ и w₂ что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде:

В = { w_1, w₂ }.

Используя введенную ранее терминологию, случайным со­бытием А называют любое подмножество S пространства эле­ментарных событий (S Q). Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечет за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное собы­тие А = {число очков четное} можно записать так: А = {2, 4, 6}, подразумевая при этом, что если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Дополнение (противоположное к А) — это событие —А (чи­тается «не А»), состоящее в ненаступлении события А.

Пусть в урне 12 шаров, среди которых одна половина бе­лых, а другая — черных. Тогда, если А — «вынуть белый шар», то —А — «вынуть не белый шар».

События А₁, А₂, ... А_n называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произой­ти одновременно. Это означает, что среди событий А₁, А₂, ... А_n нельзя найти такую пару событий _Аj и А_i, в которой обнаружи­лось бы хотя бы по одному общему элементарному событию.

Например, при однократном бросании игральной кости вы­падение четного и нечетного числа — несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при од­ном выстреле по мишени.

События А₁, А₂, ... А_n называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем другое. Например, выпадение орла или решки при бросании монеты.

События А и В называются независимыми, если появле­ние одного из них не изменяет шансы появления другого. На­пример, одновременно бросаются две игральные кости. Появ­ление на одной из них трех очков никоим образом не зависит от того, какое количество очков появилось на верхней грани дру­гой кости.

Если появление одного события влияет на появление дру­гого, то такие события называются зависимыми.

Рассмотрим пример. В урне два красных и два черных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, и шар отклады­вается в сторону. Затем вынимается второй шар. Событие А — первый вынутый шар красный. Событие В — второй вынутый шар тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым вынули красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опыте будет меньше, чем если бы первым был вы­нут черный шар.