4.3. Основные правила комбинаторики

Правило суммы для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В – другими m способами, то выбор «или А, или В» можно осуществить n+m способами.

При использовании правила суммы необходимо осознавать, что множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объекта В не должно иметь общей части, в противном случае из суммы n+m нужно вычесть величину общей части множеств А и В.

Пример 15. Преступник может проникнуть в квартиру либо через входную дверь, либо через окно. Число способов проникновения через дверь – 4, через окно – 3. Сколько всего существует способов проникновения в квартиру?

Решение. Так как способы проникновения в квартиру через окно и через дверь различны, то мы можем воспользоваться правилом суммы. Тогда количество способов проникновения либо через окно, либо через дверь, т.е. количество различных способов проникновения в квартиру, будет равно 4+3=7.

Пример 16.

От поселка Горелки до областной больницы г. Тулы мож­но доехать через Октябрьский поселок или центр города че­рез Пролетарский мост. В первом случае можно воспользо­ваться автобусом № 1 или собственным автомобилем (ко­личество вариантов равно 2), во втором — маршрутным так­си № 2, маршрутным такси № 3 или воспользоваться соб­ственным автомобилем (количество вариантов — 3). Сколь­кими способами можно добраться из поселка Горелки до об­ластной больницы?

Решение.

Очевидно, что число разных вариантов проезда от поселка до больницы 2 + 3 = 5.

Пример 17.

Пусть а — число, делящееся без остатка на 2, b — число, делящееся без остатка на 3. Сколькими способами можно выб­рать «а или b» на множестве М = {1, 2, 3,4, 5}?

Решение.

1. Числа, делящиеся без остатка на 2, — это числа 2 и 4, т. е. т = 2.

2. Без остатка на 3 из заданного множества М делится толь­ко число 3, т. е. п = 1.

3. Число искомых способов (т + п) = 2 + 1 =3.

Если способы выбора объекта типа а совпадают со спосо­бами выбора объекта типа b, то из формулы (т + п) следует вы­честь число таких совпадений

N₂=(т + п- к), где к — число совпадений.

Пример 18.

Пусть а — число, делящееся без остатка на 2, b — число, делящееся без остатка на 3. Сколькими способами можно выб­рать «а или b» на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

Решение.

1. Числа, делящиеся без остатка на 2, — это числа 2, 4 и 6, т. е. т = 3.

2. Числа, делящиеся без остатка на 3, — это числа 3 и 6, т. е. я = 2.

3. Число совпадений к =1, так как 6 попадает в первую и вторую выборку. Тогда число искомых способов (т + п — к) = =3+2-1=4

Правило суммы для выбора m объектов. Если объект можно выбрать способами, объект другими способами, объект отличными от первых двух способами, и т.д., объект - способами, отличными от первых (m-1), то выбор одного из объектов: или объекта , или объекта , …, или объекта можно осуществить + +…+ способами.

Правило произведения для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами и после этого действия объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары объектов (А, В) можно осуществить способами.

Действительно, каждый из n способов выбора объекта А можно скомбинировать с различными m способами выбора объекта В. А это и приводит к способам выбора пары (А, В). Правило произведения можно представить с помощью следующей таблицы:

,

где , i=1, …, n способы выбора объекта А, , j=1, …, m способы выбора объекта B и выбор объекта В не зависит от выбора объекта А.

Пример 19. Во взводе 25 курсантов. Сколько существует способов назначения командира взвода и его заместителя.

Решение. Сначала выберем командира взвода. Число способов выбора равно 25, так как каждый курсант может быть назначен на эту должность. После этого остается 24 курсанта, из которых может быть назначен заместитель командира взвода. Т.е. число способов назначения заместителя командира – 24. По правилу произведения количество способов назначения пары курсантов на указанные должности = 600.

Пример 20.

В классе 30 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и его заместитель, если каждый учащийся может быть избран на одну из этих должностей?

Решение.

Так как по условию задачи каждый учащийся может быть избран старостой, то, очевидно, существует 30 способов выбо­ра старосты. Заместителем старосты может стать каждый из ос­тавшихся 29 человек. Любой из 30 способов выбора старосты может осуществляться вместе с любым из 29 способов выбора заместителя старосты. Поэтому существует 30 29 = 870 спо­собов выбора старосты и его заместителя.

Пример 21.

Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом или самолетом; из Чайковского до Ижев­ска — теплоходом или автобусом. Сколькими способами мож­но осуществить путешествие по маршруту Пермь — Чайков­ский — Ижевск?

Решение.

Число разных путей из Перми до Ижевска равно 4• 2 = 8, так как, выбрав любой из четырех возможных способов путе­шествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных спосо­ба путешествия из Чайковского до Ижевска.

Правило произведения для выбора m объектов. Если объект можно выбрать способами, после каждого такого выбора объект можно выбрать другими способами, после этого объект можно выбрать способами, и т.д., после выбора каждого из (m-1) объектов -й может быть выбран способами, то выбор всех элементов ( , , …, ) в указанном порядке можно осуществить ž ž…ž способами.

Пример 22.

Сколько существует целых четырехзначных чисел, не деля­щихся на 5 без остатка? Целое число не делится на 5, если оно не заканчивается на 5 или на 0.

Решение.

Первую значащую цифру можно выбирать девятью спосо­бами (все цифры, кроме нуля), вторую и третью - десятью спо­собами, а четвертую лишь восемью (все цифры, кроме 0 и 5). Следовательно, целых четырехзначных чисел, не делящихся на 5 без остатка, существует: 9• 10• 10• 8 = 7200, где п₁ =9, n₂ = п₃ = 10, n₄ = 8 (см. правило произведения).

Пример 23. Для запирания некоторых автоматических камер хранения, кейсов применяют цифровые кодовые замки, которые отпираются при наборе заданной комбинации цифр. Замок состоит из 4 дисков, на каждом из которых нанесены все цифры. Сколько времени необходимо злоумышленнику для перебора всех комбинаций замка, если на одну комбинацию он тратит 2 секунды.

Решение. При кодировании и открывании замка каждую цифру можно выбрать 10 способами. Всего цифр - 4, причем в комбинации важен порядок расположения цифр. Значит, по правилу произведения общее число комбинаций равно . Таким образом, для перебора всех комбинаций необходимо потратить секунд или 5 часов 33 минуты и 20 секунд непрерывной работы. Заметим, что найденное время необходимо для перебора всех комбинаций. Но нужная комбинация может вовсе и не быть последней.

Пример 24.

Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение.

В понедельник может дежурить любой из выделенных ше­сти человек. Во вторник может дежурить каждый из еще не де­журивших пяти учащихся. Следовательно, расписание дежурств на первые два дня недели можно составить 6 • 5 способами. К среде остаются четыре человека, которые еще не дежурили, и поэтому на среду дежурного можно будет назначить 4 спосо­бами. Таким образом, существует 6•5•4 способов установле­ния очередности дежурств на первую половину недели. В чет­верг сможет дежурить любой из трех еще не дежуривших уча­щихся, в пятницу — любой из двух еще не дежуривших. К суб­боте выбора не будет, так как останется один человек, который еще не дежурил. Он и будет дежурным в субботу. Ясно, что чис­ло способов, которыми можно установить очередность дежурств учащихся, равно 6• 5• 4• 3• 2• 1 = 720.

Вопросы для самопроверки:

1. Чем отличаются размещения без повторений из n элементов по k от сочетаний без повторений из n элементов по k?

2. Что называется перестановками из n элементов?

3. Запишите формулы для вычисления размещений, сочетаний, перестановок без повторений (с повторениями).

4. В каком случае для выбора двух объектов используется правило суммы, а в каком правило произведения?