Перестановки

Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов.

Перестановки являются частным случаем размещения. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки различаются только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначают символом . Р – первая буква французского слова «permutation» - «перестановка».

Для того, чтобы вычислить число перестановок, подставим k=n в формулу (4.2) для нахождения размещений из n по n элементов:

. (4.5)

Значит, число перестановок из n элементов . Т.е. множество из n элементов можно упорядочить n! способами.

Пример 5. Сколько существует вариантов проведения собрания учебной группы, если количество выступающих на собрании – 4?

Решение.

Так как на собрании должны выступить всего четверо ораторов, то число способов расположения их в списке выступающих и, соответственно, число способов проведения собрания равно числу перестановок из 4 элементов . .

Пример 6. Сколько вариантов расположения слов допускает предло­жение: «Редактор вчера внимательно прочитал рукопись»?

Решение.

В данном предложении нет никаких грамматических огра­ничений на порядок слов, т. е. имеем случай перестановки из 5 элементов по 5:

P5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120.

Пример 7. Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно уста­новить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение.

В данной задаче рассматривается шестиэлементное множе­ство дежурных и требуется определить число шестиэлементных подмножеств этого множества, отличающихся друг от дру­га только порядком следования элементов:

P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720.

Число перестановок с повторениями определяется по формуле

где п — число повторений в перестановке элементов i-го типа.

Пример 8. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»? Решение.

Поскольку в слове имеются 3 буквы а, перестановки будут происходить с повторениями. Воспользуемся формулой для числа перестановок с повторениями, учитывая, что всего в сло­ве 6 букв, и каждая из букв з, д, ч встречается 1 раз:

Сочетания

Если подмножества различаются не только составом элементов, но и порядком следования элементов, то они называются упорядоченными. Неупорядоченные подмножества различаются только составом входящих в них элементов. Так, у множества, состоящего из 5 элементов, имеется 10 неупорядоченных подмножеств, состоящих из 2 элементов и 20 упорядоченных.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его неупорядоченное подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов. Из определения вытекает, что .

Сочетания из n элементов по k элементов – все k - элементные подмножества n – элементного множества, различающиеся только составом элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Например, для четырехэлементного множество a, b, c, d сочетаниями из 4 элементов по 3 элемента являются подмножества: abc, abd, acd, bcd.

Число всех сочетаний из n по k элементов обозначается специальным символом . (Читается: «число сочетаний из n по k» или «С из n по k»). C – первая буква французского слова «combinasion» - «сочетание».

Число сочетаний из n по k элементов определяется следующей формулой:

. (4.6)

Представив n! в виде n!=(n-k)! (n-k+1) (n-k+2) … (n-1) n и сократив числитель и знаменатель формулы (4.62) на (n-k)!, получим следующую формулу для числа сочетаний из n по k элементов:

(для k>0) (4.7)

Если k=0, то . Действительно, существует только одно пустое (не содержащее элементов) подмножество множества из n элементов.

Еще раз перепишем формулы (4.6), (4.2) и (4.5) в виде:

, , .

Отсюда очевидно, что . Число размещений из n элементов по k элементов равно числу сочетаний из n элементов по k элементов, умноженному на число перестановок из k элементов.

Пример 9. Сколько различных нарядов, состоящих из 7 курсантов, можно составить из взвода численностью 20 курсантов?

Решение. Количество различных нарядов равно числу сочетаний из 20 по 7 - . По формуле (4.7) получим

.

Итак, количество различных нарядов равно 77520.

Пример 10. Сколько поединков по борьбе должны быть проведены между 15 спортсменами, если каждый из них должен встретиться с каждым.

Решение. Должно состояться столько поединков, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 15 элементов, т.е. их число равно . По формуле (4.7) получаем .

Итак, при встрече каждого из 15 спортсменов с каждым должно состояться 105 поединков.

Пример 11.

Читатель отобрал по каталогу 8 книг. Однако в библиотеке выдают одному читателю не более 5 книг. Сколько альтернатив взять книги есть у этого читателя?

Решение.

Читатель должен выбрать 5 книг из 8. Все книги разные и все равно, в каком порядке их взять. Имеем случай сочетания из 8 элементов по 5:

Пример 12.

В турнире принимали участие 4 шахматиста, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

Решение.

Партий было сыграно столько, сколько можно выделить 2-элементных неупорядоченных подмножеств (так как каждые 2 шахматиста встречались только 1 раз, и поэтому сочетание Иванов - Петров и Петров-Иванов равнозначны) во множестве из 4 элементов, т. е.

Если пронумеровать игроков 1, 2, 3, 4, то это были партии

1-2, 3-4, 1-3, 2-4, 1-4, 2-3.

Число неупорядоченных т-выборок из n-множества, т. е. со­четаний с повторениями, определяется по формуле: m n.

Пример 13. Кости домино можно рассматривать, как сочета­ния с повторениями по 2 из 7 цифр: 0, 1,2, 3,4, 5, 6. Число всех таких сочетаний равно:

Число всех неупорядоченных подмножеств п-множества определяется по формуле:

_Nп=2ⁿ.

Пример 14. В комнате 4 светильника. Сколько ва­риантов включения светильников может быть реализовано?

Решение.

Очевидно столько, сколько существует подмножеств у четырехэлементного множества, т. е. 2⁴ = 16. При этом учитыва­ется и тот способ «освещения», при котором ни один светиль­ник не горит.

Задачу можно также решить, рассматривая число всех дво­ичных цифр от 0000₂ до 1111₂, где 0 соответствует, например, выключенному светильнику, а 1 - включенному.