4.2. Размещения, перестановки, сочетания

В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям, причем в одних задачах подмноже­ства, отличающиеся порядком следования в них элементов, сле­дует считать различными (случай размещений), в других поря­док следования элементов неважен, и подмножества, отличаю­щиеся только расположением элементов, не считаются различ­ными (случай сочетаний).

Рассмотрим размещения, перестановки, сочетания более подробно.

Размещения

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов. Из определения вытекает, что .

Размещения из n элементов по k элементов – все k-элементные подмножества n – элементного множества, различающиеся не только составом элементов, но и порядком их следования. Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d размещениями из 4 элементов по 3 элемента являются подмножества:

abc, acb, bac, bca, cab, cba,

abd, adb, bad, bda, dab, dba,

acd, adc, cad, cda, dac, dca,

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb.

Число всех размещений из n по k элементов обозначается символом . (Читается: «число размещений из n по k» или «А из n по k»). А – первая буква французского слова «arrangement», что означает размещение, приведение в порядок.

Число размещений из n по k элементов определяется следующей формулой:

. (4.2)

Запись n! читается «n-факториал» и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 2 3 .. n, (nÎN)

Условились считать, что 0! = 1! = 1. (4.3)

1!=1, 2!=1 2, 3!=1 2 3=6, 4!=1 2 3 4=24, 5!=1 2 3 4 5=120 и т.д.

Из приведенных выше вычислений факториала ряда чисел очевидно следующее равенство: n!=(n-1)! n для n>0.

Тогда по формуле (4.2), учитывая (4.3) получаем .

,так как существует только одно подмножество n-мно­жества, не содержащее элементов, - пустое множество.

Кроме того, принимают = 1, хотя и не имеет комби­наторного смысла.

Используя снова равенство n!=(n-k)! (n-k+1) (n-k+2) … (n-1) n и сократив числитель и знаменатель формулы (4.2) на (n-k)!, получим следующую формулу для числа размещений из n по k элементов:

, где k>0. (4.4)

Пример 1.

В классе 30 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и его заместитель, если каждый учащийся может быть избран на одну из этих должностей?

Решение.

Выбор Иванова старостой, Петрова — заместителем старо­сты, и выбор Петрова старостой, а Иванова — заместителем старосты — это два различных способа выбора, т. е. имеем слу­чай упорядоченного подмножества: размещения из 30 элемен­тов по 2. По формуле (4.2)

Пример 2. Сколько различных нарядов, состоящих из 7 курсантов, можно составить из взвода численностью 20 курсантов, если каждый курсант в наряде отличается от другого своими обязанностями?

Решение.

Количество различных нарядов равно числу размещений из 20 по 7 - . По формуле (4.4) вычисляем = 390 700 800.

Пример 3. Сколько существует различных цифровых номеров автомашин, цифры которых не повторяются?

Решение.

Если цифры номера машины не повторяются, то количество комбинаций номеров равно числу размещений из 10 (общее количество цифр) по 3 (количество цифр в номере автомашины), т.е. равно .

Число упорядоченных т-выборок из n-множества, т. е. раз­мещений с повторениями, определяется по формуле ,m n.

Пример 4.

Абонент забыл последние три цифры телефонного номера. Какое наибольшее число вариантов номеров ему нужно пере­брать, чтобы дозвониться (в этом случае необходимый номер набирается последним)?

Решение.

Имеем случай размещения с повторениями из 10 элементов по 3. Действительно, цифра в любой из трех позиций может быть любая: 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 или 9 (всего 10 вариантов), причем в соседних позициях могут присутствовать одинаковые цифры:

= 10³ =1000.