Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой. В комбинаторных задачах необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить то или иное требование, выполнить какое-либо условие.

Первые комбинаторные задачи были связаны с азартными играми: картами, костями, «орлянкой». Наиболее любопытные игроки интересовались, например, тем, сколькими способами можно выбросить данное количество очков, бросая две или три кости или сколькими способами можно получить двух тузов при раздаче карт. Основы теоретических положений комбинаторики были разработаны французскими учеными Блезом Паскалем и Пьером Ферма в XVII веке. Дальнейшее развитие комбинаторика получила в работах Я. Бернулли, Г. Лейбница и Л. Эйлера.

В наше время комбинаторика получила новый толчок для развития в связи с появлением быстродействующих ЭВМ и широким использованием методов дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, задач по составлению расписаний, для разработки, кодирования и декодирования шифров, в задачах линейного программирования, статистики, теории информации.

4.1. Выборки и подмножества

Пусть задано произвольное множество А из n объектов, со­стоящее из элементов а_i. Последовательность произвольных элементов

<а₁,а₂,...,а_т >, а_i А, i = (4.1)

называется выборкой объема т из А, или m-выборкой из мно­жества А, или m-выборкой из n-множества А.

Различие выборки и подмножества состоит в следующем. В выборке каждый элемент из некоторого множества А может встречаться произвольное число раз, т. е. объем выборки может превосходить объем исходного множе­ства. Если же все компоненты m-выборки из n-множества A раз­личны, то и m-выборка будет представлять собой т-подмноже­ство множества А.

Таким образом, выборка подразумевает возможность на­личия в ней одинаковых элементов, а подмножество, как из­вестно из определения множества, не допускает повторений элементов.

Для отличия выборок от подмножеств в формулах для вы­борок вводят подчеркивание сверху (см. 4.1).

Типичный пример выборки — слово в фиксированном ал­фавите, содержащее одинаковые буквы (например, слово «ма­тематика», составленное из букв русского алфавита).

Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента

Если свойства выборки изменяются при транспозиции элемен­тов (т. е. при перемене местами двух элементов), то выборка назы­вается упорядоченной, в противном случае — неупорядоченной. Сравните, например, слова «волос» и «слово», составленные из букв русского алфавита. Упорядоченную выборку из множества десятичных цифр представляет собой телефонный номер, напри­мер, 5554433, так как номер 5454533 — это уже другой абонент.

Число появлений в выборке одного и того же элемента а_i называют его кратностью и обозначают (а_i). Если каждый элемент а_i m-выборки имеет кратность (а_i)= 1, то выборка представляет собой m-подмножество множества A.