Порядок старшинства операций
Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких или даже всех пяти логических операций, причем каждая из операций может применяться несколько раз.
Если
в выражении встречаются различные
логические операции, то порядок
старшинства операций (их приоритет)
следующий (понижение приоритета
слева
направо):
,
,
V, =>, <=>.
Это означает, что сначала выполняются
операции отрицания, затем конъюнкции
и т. д. Для нарушения порядка выполнения
логических операций служат скобки.
Истинность или ложность сложного высказывания можно установить, решая задачу «по действиям».
Если в выражении присутствуют арифметические операции, операции сравнения и логические операции, то приоритет следующий:
сначала выполняются арифметические операции; порядок старшинства арифметических операций (слева направо): умножение, деление, сложение, вычитание;
затем
— операции =,
и операции
сравнения (>,
,
,
<) в том порядке, в каком они встречаются
в выражении;
наконец — логические операции в соответствии с приоритетом (понижение приоритета слева направо): , , V, =>, <=>.
Основные законы математической логики
Коммутативность: А В = В А , А V В = В V А.
Ассоциативность: А (В С) = (А В) С ,А V (В V С) = (А V В)\/С.
Дистрибутивность: А (В V С) = (А В) V (А С),
А V (В С) = (А V В) (А V С).
Законы де Моргана: (А В) = А V В,
(А v В) = А В.
Закон поглощения: А V (А В) = А (А V В) = А.
Закон идемпотентности: А А= А V А = А.
А «истина» = А, А «ложь» = «ложь»
А V «истина» = «истина», А V «ложь» = А.
Закон противоречия: А А = «ложь».
Закон исключения третьего: А V А = «истина».
Закон двойного отрицания: ( А) = А.
Вопросы для самопроверки:
Что называется множеством?
Назовите основные операции над множествами?
Что называется высказыванием?
Что понимают под простым, составным высказыванием?
Приведите примеры простых и составных высказываний.
Перечислите основные логические операции.
Упражнения для самостоятельного выполнения:
1. Выпишите все подмножества множества В= 8, 12, 20
2. Пусть С= 1, 2, 3, 4 , 1, 4 , 1, 3, 4 . Истинными или ложными являются следующие высказывания?
1) 1 С, |
2) 1, 4 С, |
3) 1, 2 С, |
4) 1, 2, 3, 4 С, |
5) 2 С, |
6) 1, 3 В, |
7) 1, 3 В, |
8) 1, 3, 4 В |
3.Задайте перечислением следующие множества:
1)
А=
х
N
3
9}; 2)
В=
х
Z
2х2+5х
-2}.
3) С= х R 12х+3=0}; 4) В= х Z 3х2-4х -1}.
4.
Найдите множества А
В,
А
В
С,
А
В,
В
С,
В
С
А,
А\В, С\А, если А=
1,
2, 3, 5, 7, 9},
В=
4,
5, 6, 7, 9, 12},
С=
4,
5, 6, 7, 11, 12, 13}.
5. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:
а) (АВ)\С; б) (АВ)(СВ); в) (АВ) (С \ В);
г) (С\В)(А\С); д) (А\С)(ВС); е) (СА)\(ВА).
6. Запишите множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рисунке:
а) б) в)
г)
д)
7. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:
1) Сколько человек или добираются пешком или пользуются автобусом?
2) Сколько человек пользуются только автобусом?
3) Сколько человек пользуются другим транспортом?
8. Из 100 школьников 40 играют в футбол, а 50 - в волейбол. Каким может быть число школьников играющих а) в обе игры; б) хотя бы в одну игру?
9. Среди следующих высказываний укажите элементарные (простые) и составные (сложные). В составных высказываниях выделите грамматические связки:
1) число 27 не делится на 3;
2) число 15 делится на 5 и на 3;
3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
4) число 7 является делителем числа 42;
5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.
10. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:
1) 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
3) если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится 12;
4) число 212 - трехзначное и кратно 3 или 4.
11. Пусть А - истинное высказывание, В - ложное высказывание. Определите значение истинности следующих сложных высказываний:
1) (AÚ B)® A;
2) (A Ù B) ® A;
3) A « (A Ù B) ® A;
4) A ® (B « A);
5)
®
.