Логические операции

Операции над высказываниями — логические операции — обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинно­сти.

Операция отрицания, или отрицание высказывания. Для каждого высказывания А может быть сформировано новое вы­сказывание А (читается «не А», или «не верно, что А») — от­рицание высказывания А. Высказывание А истинно, когда А — ложно, и ложно, когда А — истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А	А
1	0
0	1

Отрицание — одноместная, или унарная, операция. После­дующие операции — двухместные, или бинарные.

Например, если А {3 + 5 = 8} — истинное высказывание, то А = {3 + 5 8} — ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, если В {в комнате холодно}, то В = {в комнате не холодно}, но при этом высказывание D {в комнате жарко} отрицанием В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (произведением) этих высказываний: С = А В (выражение А В читается «А и В»).

Произведение С = А В истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А	В	С = А В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пусть, например, А = {12 делится на 3}, В= {12 делится на 4}. Тогда высказывание С = А В = {12 делится на 3 и на 4} — истинно, так как истинно каждое из высказываний А и В, со­ставляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для несколь­ких высказываний как связку высказываний, объединенных со­юзом «и». Конъюнкция из п высказываний — новое высказы­вание, причем высказывание

А=А1 А2 …Аn

имеет значение «истина», если и А1, и А2, и ... Аn истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А1 {5>3}, А2 {8 = 3}, А3 {отец стар­ше сына}, А4 {Мурманск севернее Смоленска}. Тогда выска­зывание А1 А3 А4 {8 = 3} и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} — ложное, в то время как высказывание А2 А3 А4 {5 > 3 и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} — истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (суммой) этих вы­сказываний: С = А V В (выражение А V В читается «А или 5»).

Сумма С = А V В является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А	В	С = А V В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Пусть, например, А {7<9}, В {3+5 = 8}. Тогда высказывание С = А V В {7<9 или 3+5 = 8} – истинно, так как истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединенных союзом «или»:

А=А1 V А2 V … V Аn.

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность выска­зываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда...», называ­ют эквивалентностью высказываний А и В: С = А В.

Для эквивалентности используют знак <=> (или ~).

Эквивалентность С = А <=> В представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А	В	С = А В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пусть А {число 3п является четным}, В {число п являет­ся четным}.

Высказывание С {число 3п является четным тогда и только тогда, когда п — четное число} есть эквивалентность высказываний А и В: С = А <=> В.

Операция импликации, или импликация высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если..., то...», называют импликацией высказы­ваний А и В: С = А => В (выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация С = А=> В ложна только в том случае, когда А — истинное высказывание, а В — ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А	В	С = А => В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Первый член импликации А=> В — высказывание А — назы­вается посылкой, или условием, второй член В — заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для имплика­ции, в отличие от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и экви­валентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответству­ет обычному пониманию слов «если..., то...» и «следует». Из третьей и четвертой строк таблицы истинности для имплика­ции вытекает, что если А — ложно, то, каково бы ни было В, высказывание А => В считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует все что угодно.

Например, утверждения «если 6 — простое число, то 7 < 6» или «если 7 < 6, то существуют ведьмы» являются истинны­ми. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон — насекомое, то Антарктида покрыта тропичес­кими лесами».