3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции

Понятие высказывания

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний. Под высказыванием понимают всякое утверждение, о кото­ром имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Примеры высказываний:

1. Москва – столица России.

2. Число 27 является простым.

3. Волга впадает в Каспийское море.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным, так как число 27 составное 27=3 3 3.

Следующие предложения высказываниями не являются:

• 2 x>8.

• a x2+b x+c=0.

• Который час?

Высказывания могут быть образованы с помощью слов или символов. Синонимами слова «высказывание» можно считать: логическое высказывание, булевское выражение, суждение, ут­верждение и т. п. Однако далеко не каждый набор слов или сим­волов (даже осмысленный) является высказыванием. Например, фразы «Ура, у нас математика!» или «Который час?» или выра­жение «х > 0» высказываниями не являются, так как судить об их истинности или ложности невозможно.

Таким образом, каждое высказывание или истинно, или лож­но; одновременно быть истинным и ложным высказывание не может.

Если высказывание истинное, то ему предписывается зна­чение «истина» (другие обозначения: «1», «ДА», «И», «+»). Ложному высказыванию предписывается значение «ложь»

(другие обозначения: «О», «НЕТ», «Л», «-»).

Для обозначения высказываний обычно используют заглав­ные буквы латинского алфавита А, В, С и т. д.

Например, пишут

А {6 < 7}, В {число 6 простое}.

Это означает, что высказывание В заключается в утвержде­нии, что число 6 — простое, а высказывание А — в том, что 6 < 7. Знак заменяет слова «есть высказывание».

Простые и составные высказывания

Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым понимают высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера — простые высказывания. Про про­стое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок, или логических операций (союзов «и», «или», слов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...»), можно строить сложные высказывания.

Например, из высказываний А {6 < 7}, В = {число 6 про­стое}, используя логические операции, можно образовать следу­ющие сложные высказывания:

С {6 < 7 или, число 6 простое},

D {6 < 7 и, число 6 простое},

Е {6 < 7 тогда и только тогда, когда, число 6 простое},

F {6 < 7, то число 6 простое}.

Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые никак не связаны между со­бой по смыслу. Например, высказывание

G {если слон — насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами} составлено при помощи логической операции «если..., то...»

из двух высказываний, между которыми нет никакой смысло­вой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда только истин­ны или только ложны. Истинность или ложность сложного вы­сказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие ло­гические связки (операции) использованы для образования слож­ного высказывания, и, во-вторых, тем, какие из простых выска­зываний, образующих сложное, истинны и какие — ложны.