
- •Введение
- •Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики
- •1.1. Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры
- •1.2. Аксиоматический метод
- •1.3. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции
- •Метод математической индукции
- •1.4. Роль математики в современном мире
- •Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
- •2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
- •2.2 Понятие об измерении. Виды измерений. Приближенные вычисления
- •2.3. Понятие математической модели. Этапы математического моделирования
- •2.4. Виды математических моделей
- •Тема 3. Основы теории множеств и математической логики
- •3.1. Основные понятия теории множеств
- •Подмножество. Универсальное множество
- •3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
- •Объединение (сумма) множеств
- •Разность двух множеств. Дополнение
- •Законы теории множеств
- •3.3. Отношения и соответствия. Функции как соответствия
- •3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции
- •Простые и составные высказывания
- •Логические операции
- •Порядок старшинства операций
- •Основные законы математической логики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики
- •4.1. Выборки и подмножества
- •Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента
- •4.2. Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •4.3. Основные правила комбинаторики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Выборки с повторениями
- •Тема 5. Случайные события и их вероятности
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •Правила действий над событиями
- •Аксиомы теории вероятностей
- •5.2. Классическое определение вероятности
- •5.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •5.3. Операции над вероятностями
- •Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.
- •Вероятность произведения событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
- •5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение Формула Бернулли
- •Геометрическое распределение
- •Кривая нормального распределения
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 6. Элементы математической статистики
- •6.1. Возникновение математической статистики
- •6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
- •Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики
- •6.4. Статистическая информация и формы ее представления
- •6.5. Числовые характеристики статистических рядов
- •2. Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение .
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Список литературы
- •Ресурсы Интернета
3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А=В.
Если
множества не равны, то пишут А
В.
Запись равенства двух множеств А=В эквивалентна записи А В, или В А.
Например, множество решений уравнения х2-5х+6=0 содержит те же самые элементы, что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны.
Пересечение (умножение) множеств
Множество
D, состоящее из всех элементов, принадлежащих
и множеству А и множеству В, называется
пересечением множеств А и В и обозначается
D=А
В
(рис.3.1).
Рис.3.1
Рассмотрим
два множества: Х=
0,1,3,5
и
Y=
1,2,3,
4
.
Числа 1 и 3 только они принадлежат
одновременно обоим множествам Х и Y.
Составленное из них множество
1,3
содержит все общие для множества Х и Y
элементы. Таким образом, множество
1,3
является
пересечением рассмотренных множеств
Х и Y:
1,3 = 0,1,3,5 1,2,3, 4 .
Для
отрезка
и
интервала(0;3) пересечением является
промежуток (0;1
.
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть множество учеников восьмых классов, являющихся членами химического кружка.
Пересечение множеств (и другие операции — см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума Венн предложил использовать круги и прямоугольники. При этом универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. В дальнейшем такие схемы стали называть диаграммами Эйлера-Венна.
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение — пустое множество, и пишут А В = .
Например, пересечение множества четных чисел с множеством нечетных чисел пусто.
Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: А = .
Можно рассматривать пересечение п множеств:
Аi=A1 A2 … An при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А1, А2, ... Аn .
Например, если A, В и С — соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.
Объединение (сумма) множеств
Объединением
множеств А
и
В
называется
такое множество С, каждый
элемент
которого содержится хотя
бы в одном из
множеств А
или
В:
С = А
В
(рис.3.
2).
Рис 3.2.
Объединением множества учеников школы моложе 12 лет с множеством учеников той же школы старше 10 лет является множество всех учеников данной школы.
Можно рассматривать объединение п множеств: Аi=A1 A2 … An, при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств А1, А2, ... Ап.
Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R+, множества отрицательных чисел R- и множества {0}, т. е.:
R = R+ R- {0}
Объединение множеств вершин треугольников, вписанных в данную окружность, представляет собой множество точек этой окружности.
Пример 2.
Пусть Е — некоторый универсум, а множество А принадлежит этому универсуму, т. е. А с Е.
Записать и изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна пересечение и объединение этих множеств.
Решение.
Универсум Е изобразим в виде прямоугольника, а его подмножество А — в виде круга, расположенного внутри прямоугольника.
Чтобы найти пересечение двух множеств, можно использовать следующий способ: территорию одного множества заштриховать, например, вертикальной штриховкой (пусть в данном случае это будет множество Е), а территорию другого множества — горизонтальной штриховкой (пусть в данном случае это будет множество А). Та территория, где штриховки наложились друг на друга, и будет представлять пересечение двух множеств.
Для случая рассматриваемой задачи пересечением будет являться территория множества А (рис.3.3), или просто множество А: А Е = А, так как именно там штриховки накладываются друг на друга.
Чтобы найти объединение множеств, можно использовать следующий способ: территорию одного множества заштриховать, например, горизонтальной штриховкой и территорию другого множества также заштриховать горизонтальной штриховкой. Вся заштрихованная территория будет представлять собой объединение множеств.
Д
ля
случая рассматриваемых множеств
объединением будет являться территория
множества Е
(рис. 3.4), или
просто множество Е:
А
Е
= Е, так как
именно территория универсума —
множества Е
— оказывается
полностью заштрихованной.