МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ імені Г.С. СКОВОРОДИ

До захисту

Зав. кафедри математики

Док. п. н., професор _________________

В.Г. Моторіна

«_____» ________________2012 р.

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА

“МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ”

Виконала:

Науковий керівник:

Док. п. н., професор.

Моторіна В.Г.

Харків – 2012

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………..3

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ……………………………………………………………….7

1.1. Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах……………………………………...7

1.2. Психолого-педагогічні основи вивчення диференціальних рівнянь…………………………………………………………………….11

1.3. Теоретичні основи вивчення диференціальних рівнянь…………..21

РОЗДІЛ ІІ. МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ…………………………........................33

2.1. Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів…………33

2.2. Контроль та корекція………………………………………………...94

ВИСНОВКИ…………………………………………………………………….101

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА……………………………………................103

ВСТУП

Сучасний етап розвитку системи освіти в Україні визначається тенденціями до інтеграції у світовій системі освіти, до збереження та зміцнення інтелектуального потенціалу країни, підвищенням рівня конкуренції інтелектуальної продукції. Це зумовлює її подальшу демократизацію, гуманізацію і гуманітаризацію, диференціацію і орієнтацію на всебічний розвиток особистості. Досягнення цього неможливе без застосування сучасних педагогічних та інформаційних технологій, що вимагає подальших глибоких досліджень процесу навчання.

Різке падіння соціального статусу і престижу знань серед молоді поступово змінюється прагненням до одержання такого рівня освіти, яка б забезпечила гідний статус молодої людини у сучасному суспільстві. Така ситуація сприяє росту пізнавальної активності учнів, потягу їх до знань, бажанню працювати над собою. Система освіти України має забезпечити можливості для всебічного розвитку молодої людини як цілісної особистості, повинна сприяти розвитку здібностей і обдарувань, збагачуючи цим самим інтелектуальний потенціал людини, її духовність та культуру [30].

Оновлення змісту освіти у напрямку задоволення сучасних потреб особистості та суспільства вимагає подальшого вдосконалення процесу навчання. Концепція базової математичної освіти в Україні визначає пріоритетність методів активного навчання і новітніх інформаційних технологій навчання [42].

Перетворення знань у переконання досягається лише тоді, коли учні всебічно усвідомлюють навчальний матеріал, коли засвоєні знання є результатом не тільки їхніх розумових зусиль, але й позитивних емоційних переживань. Все це можливе лише за умов високого рівня професійної культури вчителя.

Професійна культура вчителя математики як сукупність його практичних, матеріальних і духовних надбань, що визначають якість його професійної діяльності, тісно пов’язана з його математичною культурою, загальною педагогічною і психологічною, методичною і інформаційною, мовною і моральною культурою. Вона передбачає допитливість і працьовитість, творчий підхід до справи, вміння постійно вчитися, підвищувати свою кваліфікацію, орієнтуватися у величезному потоці інформації, яка стосується, зокрема і сфери його професійної діяльності [56, с. 10-18].

Фундамент професійної культури вчителя математики закладається під час його навчання у педагогічному вищому навчальному закладі, зокрема, і в процесі навчання фахових дисциплін, до яких відноситься і курс диференціальних рівнянь. Від міцності цього фундаменту залежить, як швидко і наскільки надійно молодий педагог зможе створити себе як вчителя, щоб бути бажаною персоною не тільки у школі загального профілю, але й у навчальних закладах нового типу (гімназіях, ліцеях, коледжах тощо). Тому проблема удосконалення професійної підготовки вчителя математики в сучасних умовах набуває особливої актуальності.

Питанню професійної підготовки вчителя (зокрема і вчителя математики) присвячена величезна кількість праць. Незважаючи на це, важко стверджувати, що ця проблема повністю розв’язана чи, принаймні, близька до розв’язання. Такого роду проблеми є вічними, оскільки життя ставить все нові задачі, в тому числі і в галузі освіти. Зміни, які відбуваються у сучасній школі, висувають значно вищі вимоги до професійної культури вчителя, а існуюча система навчання і виховання людини не зможе задовольнити ці вимоги, якщо не будуть неперервно удосконалюватися зміст освіти, розроблятися нові методичні системи навчання, створюватися нові програми, підручники, навчальні посібники, дидактичні матеріали, і все це на базі сучасних інформаційно-комунікаційних технологій, з урахуванням досягнень людства у науці, техніці, організації суспільного життя.

Проблема формування професійної культури вчителя математики завжди була в центрі уваги провідних вчених: педагогів, психологів, математиків. Значний науково-теоретичний і практичний досвід розв’язання цієї проблеми знайшов своє відображення у численних публікаціях, серед яких слід виділити роботи Ж. Адамара [2], Г. О. Атанова [6] – [8], Ю. К. Бабанського [9], Г. П. Бевза [11] – [14], М. І. Бурди [21] – [22], М. І. Жалдака [32] – [38], Г. С. Костюка [43] – [44], З. І. Слєпкань [64] – [67], М. І. Шкіля [82] – [83] та багатьох інших.

Роботи З. І. Слєпкань [64] – [67] присвячено психолого-педагогічним основам навчання математики та загальним питанням методики навчання математики.

Проблемі формування математичної культури присвячено численні підручники, посібники, задачники, адресовані як майбутнім, так і працюючим учтелям математики. Серед них особливе місце посідають книги авторів, які є професійними математиками, що активно досліджують суто математичні проблеми, зокрема, серед цих підручників та посібників є книги П. С. Александрова, Б. В. Гнєденка, М. О. Давидова, В. К Дзядика, А. М. Колмогорова, Л. Д. Кудрявцева, М. М. Лузіна, І. П. Натансона, Д. А. Райкова, Г. М. Фіхтенгольца, М. І. Шкіля та багатьох інших.

Тому ми й звернули увагу на те, що майбутні вчителі, викладачі природничо-математичних спеціальностей повинні бути підготовлені до професійної діяльності в конкретному середовищі, в якому кожна ситуація вимагає творчого підходу.

В навчальній, методичній, науково-популярній літературі недостатньо розроблена методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах. Це і обумовило вибір теми магістерської роботи: «Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах».

В даній роботі розглянуті методичні рекомендації щодо вивчення одного (першого) змістовного модуля курсу «Диференціальні рівняння». Цей матеріал містить розробки планів-конспектів лекцій, практичних та індивідуальних занять, модульних контрольних робіт. Також наявні завдання для самостійної та індивідуальної роботи, розроблені модульні контрольні роботи.

Мета дослідження:

Розробити методику навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах.

Завдання дослідження:

1. Проаналізувати навчальну, методичну, науково-популярну літературу з педагогічного дослідження.

2. Проаналізувати навчальну програму з метою вивчення диференціальних рівнянь у ВУЗах.

3. Теоретично обґрунтувати цілі, зміст, форми, методи і засоби методики навчання диференціальних рівнянь.

4. Розробити та експериментально обґрунтувати методику навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах.

Об’єкт дослідження:

Процес вивчення диференціальних рівнянь у педагогічних вищих навчальних закладах (ВУЗах).

Предмет дослідження:

Цілі, зміст, форми, методи, засоби, контроль та корекція навчання диференціальних рівнянь.

Розділ і. Теоретичні основи методики навчання диференціальних рівнянь в педагогічних університетах

1. Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все, необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з частковими похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з їх широким спектром застосування. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи будь-які фізичні явища, дослідник, перш за все, створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Так вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією.

Рівняння з частковими похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з частковими похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з частковими похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

  Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера, Ейлера, Бернуллі, Лагранжа і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеві рівняння.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

В даний час важливу роль в розвитку теорії диференціальних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інших властивостей їх рішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і стануть фундаментом для подальших теоретичних досліджень.

Отже, перша особливість теорії диференціальних рівнянь - її тісний зв'язок із їхніми застосуваннями. Іншими словами, можна сказати, що теорія диференціальних рівнянь народилася із застосувань. У цьому своєму розділі - теорії диференціальних рівнянь - математика перш за все виступає як невід'ємна частина природознавства, на якій грунтується вивід і розуміння кількісних і якісних закономірностей, складового змісту наук про природу.

Саме природознавство є для теорії диференціальних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, воно значною мірою визначає напрям їх досліджень, дає правильну орієнтацію цим дослідженням.

Вивчення рівнянь з частковими похідними в загальному випадку - таке складне завдання, що якщо хто-небудь навмання напише яке-небудь, навіть лінійне диференціальне рівняння з частковими похідними, то з великою вірогідністю жоден математик не зможе про нього сказати що-небудь і, зокрема, з'ясувати, чи має це рівняння хоч би одне рішення.

Ф. Клейн в книзі "Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі" писав, що "математика супроводжувала по п'ятах фізичне мислення і, назад, отримала найбільш могутні імпульси з боку проблем, що висувалися фізикою".

Другою особливістю теорії диференціальних рівнянь є її зв'язок з іншими розділами математики, такими, як функціональний аналіз, алгебра і теорія ймовірності. Теорія диференціальних рівнянь і, особливо теорія рівнянь з частковими похідними, широко використовують основні поняття, ідеї і методи цих областей математики і, більш того, впливають на їх проблематику і характер досліджень. Деякі великі і важливі розділи математики були викликані до життя завданнями теорії диференціальних рівнянь. Класичним прикладом такої взаємодії з іншими областями математики є дослідження коливань струни, що проводилися в середині XVIII століття.

При вивченні конкретних диференціальних рівнянь, що виникають в процесі вирішення фізичних завдань, часто створювалися методи, що володіють великою спільністю і застосовувалися без строгого математичного обгрунтування до широкого круга математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фурье, метод Рітца, метод Галеркіну та інші.

У перший період розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь одним з основних завдань було знаходження загального розв’язку в квадратурі, тобто через інтеграли від відомих функцій (цим займалися Ейлер, Ріккаті, Лагранж, Д'аламбер і ін.). Завдання інтеграції диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зробили великий вплив на розвиток лінійної алгебри.

Таким чином, диференціальні рівняння знаходяться якби на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові важливі досягнення в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій і інших областях математики відразу ж приводять до прогресу в теорії диференціальних рівнянь і тим самим знаходять шлях до застосувань. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференціальних рівнянь, викликають до життя нові напрями в математиці, приводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, що мають внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.