4. Санкт – петербурзький парадокс:

Історія парадокса:

Теорія ймовірностей, що починалася з дослідження результатів азартних ігор, розвилася в універсальну теорію, що знайшла застосування в багатьох областях життя. Тому зовсім не дивно, що майже всі великі наукові журнали пішли прикладу англійського журналу "Праці по філософії" і регулярно публікували статті по теорії ймовірностей. Усе більше й більше вчених уважали, що теорія ймовірностей – не що інше, як путівник по життю, здоровий глузд, виражений у числах. Однак на початку XVІІ століття Академія наук у Санкт-Петербурзі надрукувала статтю, математичні обчислення в якій здавалося суперечили здоровому глузду. Статтю написав Данило Бернуллі, і завдяки йому петербурзький парадокс став відомий. Однак уперше проблему підняв його двоюрідний брат Микола Бернуллі й згадав про парадокс в листі до Монмору у вересні 1713 р. (Бернуллі – родина математиків, кілька членів якої займалися теорією ймовірностей, особливо Якоб Бернуллі, про яке ще піде мова нижче у зв'язку із законами більших чисел.)

Парадокс:

Одиничне випробування в петербурзькій грі складається в киданні правильної монети доти, поки не випаде решка; Якщо це відбудеться при r-м киданні, гравець одержує 2^r доларів з банку. Таким чином, з кожним киданням виграш подвоюється. Питання в наступному: скільки варто заплатити гравцю за участь у грі, щоб гра стала необразливою? Необразливість петербурзької гри розглядається в класичній сутності: середнє значення (або математичне очікування) чистого виграшу повинне дорівнюватись 0. Однак, як це не дивно, ця природна вимога нездійсненна, яку б (кінцеву) суму грошей гравець не заплатив.

Пояснення парадокса:

Втрати банку мають нескінченне математичне очікування, тому що ймовірність закінчення гри при k-м киданні дорівнює 1/2^k, і в цьому випадку гравець одержує 2^k до доларів. Тоді банк у середньому повинен заплатити

доларів, що становить нескінченно більшу суму грошей, так що гра стала б необразливої при нескінченному внеску. Хоча всі математичні обчислення коректні, результат неприйнятний, тому деякі математики припустили реалізовані модифікації.

• Бюффон, Крамер й інші запропонували виходити із природного припущення про обмеженість ресурсів (тобто банк має лише обмежену кількість грошей). Нехай у банку є мільйон доларів. Тоді математичне очікування виграшу для гравця дорівнює

(ми врахували, що 2²⁰ >10⁶). Отже, при вступному внеску гравця, рівному 21 долару, гра стане до деякої міри вигідної для банку.

• В. Феллер відзначив, що можна так визначити вступний внесок, що петербурзька гра стане необразливою. Позначимо через п число ігор, у яких брав участь гравець. Гру можна вважати необразливою, якщо відношення сумарного виграшу до сумарного вступного внеску R_п сходиться до 1 при п, що прагне до нескінченності, точніше, якщо для будь-якого > 0

Феллер довів, що петербурзька гра стає необразливою, якщо покласти . Як потрібно з парадокса, гра не може бути необразливої для , де с – довільна кінцева постійна. Однак, якщо вступний внесок може залежати від числа ігор, у яких брав участь гравець, то (відповідно до теореми Феллера) петербурзький парадокс дозволяється.