- •До захисту
- •Вступ………………………………………………………………………….. 4
- •1.1. Парадокс де Мере:
- •1.2. Парадокси поділу ставки:
- •1.3. Парадокс часу очікування транспорту на зупинці:
- •Санкт – петербурзький парадокс:
- •1.5. Парадокс перевірки незалежності; чи є ефективні ліки ефективними?
- •1.6. Парадокс ребра монети:
- •1.7. Парадокс Банаха – Тарского:
- •Парадокс дня народження:
- •1. 9. Парадокс страхування:
- •1.10. Парадокс процесів з незалежними збільшеннями:
- •2.1. Парадокс Рассела:
- •Викладання елементів нескінченних множин через парадокси нескінченного:
- •Зчисленні і незчисленні множини:
- •2.2. Канторова досконала множина:
- •2.3. Килим Серпінського:
- •2.4. Криві Пеано:
- •2.5. Парадокс Гільберта (Готель Гільберта):
- •3. 1. Модель Лапласа:
- •3. 2. Алгебра подій:
- •3. 3. Теореми додавання:
- •3. 4. Незалежність подій. Незалежні випробування:
- •3. 5. Умовна ймовірність. Формула Байєса:
- •3. 6. Модель Бернуллі:
- •3. 7. Геометричні ймовірності:
- •3.8. Методичні розробки планів – конспектів уроків зі спецкурсу: «Теорія ймовірностей» зош: Урок з алгебри (9 клас)
- •Хід уроку:
- •Формування вмінь:
- •Підсумки уроку:
- •Домашнє завдання:
- •Урок з математики (6 клас)
- •Хід уроку:
- •Урок з алгебри (9 клас)
- •Хід уроку:
- •IV. Закріплення матеріалу:
- •Інтегрований урок (11 клас)
- •Хід уроку
- •4. 1. Парадокси в різних сферах пізнання:
- •Висновки
- •Література
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ Г.С.СКОВОРОДИ
До захисту
Зав. кафедри математики
Док. п. н., професор ____________
В.Г.Моторіна
«___» ____________ 2010 р.
ДИПЛОМНА РОБОТА
«Роль математичних парадоксів в розвитку
пізнавальної активності
учнів та студентів»
Виконала:
Студентка фізико-математичного
факультету 5 курс, спеціальності
7010103. «Педагогіка та методика середньої освіти. Математика - фізика» за освітньо-кваліфікаційним рівнем «Спеціаліст»
Костенко Ірина Сергіївна
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Процай В.Ф.
Харків – 2010
Зміст:
Вступ………………………………………………………………………….. 4
РОЗДІЛ І. Парадокси теорії ймовірностей…………………………………… 7
Парадокс де Мере ………………………………………………… 8
Парадокс поділу ставки …..……………………………………… 10
Парадокс часу очікування транспорту на зупинці …………….. 12
Санкт – петербурзький парадокс ……………………………….. 15
Парадокс перевірки незалежності; чи є ефективні ліки ефективними? ………………………………………………………………….. 17
Парадокс ребра монети ………………………………………….. 18
Парадокс Банаха – Тарского …………………………………….. 19
Парадокс дня народження ……………………………………….. 21
Парадокс страхування …………………………………………… 22
Парадокс процесів з незалежними збільшеннями ……………... 23
РОЗДІЛ ІІ. Парадокси наївної теорії множин – рушійна сила аксіоматичної теорії множин …………………………………..……………………………… 24
2.1. Парадокс Рассела ………………………………………………… 27
2.2. Канторова досконала множина …………………………………. 36
2.3. Килим Серпінського ……………………………………………… 38
2.4. Криві Пеано ……………………………………………………….. 39
2.5. Парадокс Гільберта (Готель Гільберта) ………………………… 41
РОЗДІЛ ІІІ. Використання парадоксів в теорії ймовірностей у шкільному курсі…………………………………………………………………………….. 42
3.1. Модель Лапласа …………………………………………………… 42
3.2. Алгебра подій ………………………………………………………. 48
3.3. Теореми додавання ………………………………………………… 51
3.4. Незалежність подій. Незалежні випробування …………………… 52
3.5. Умовна ймовірність. Формула Байєса ……………………………. 55
3.6. Модель Бернуллі …………………………………………………… 58
3.7. Геометричні ймовірності …………………………………………... 61
3.8. Методичні розробки планів – конспектів уроків зі спецкурсу: «Теорія ймовірностей» ЗОШ …………………………………………………. 64
РОЗДІЛ IV. Значення історії парадоксів …………………………………….. 80
4.1. Парадокси в різних сферах пізнання ……………………………… 81
ВИСНОВКИ…………………………………………………………………….. 83
ЛІТЕРАТУРА ………………………………………………………………….. 85
ВСТУП
У глибині душі ми віримо в реальність математики,
але коли філософи вказують нам на парадокси
в математику, ми, звичайно, поспішаємо
сховатися за абстракціями й говоримо:
математика – це лише комбінація
безглуздих символів...
В найширшому, філософському розумінні істина є цілком відповідне, тотожне відображення людиною реальної дійсності, відтворення предмета пізнання таким, яким він є поза нашою свідомістю і незалежно від неї. Допитлива людська думка виявила невичерпну винахідливість, гнучкість і силу, відвойовуючи таємниці природи, пізнаючи закономірності навколишнього світу. Спочатку було особливо важко. Людина, гостро відчувала безсилля перед стихіями, щедро наділяла чарівною пізнавальною здатністю своїх фантастичних героїв. Так, маска монгольського бога війни Жамерана має три ока, давньогрецьку міфічну істоту Аргус зображують навіть зі ста очима. Але на шляху пошуку істини часто людину приводило до помилкових висновків. Люди спостерігають, як Сонце «обертається навколо Землі», насправді ж цей рух є тільки позірним наслідком руху Землі навколо Сонця і власної осі. З античних часів математику вважають наукою точною, що не терпить помилок, вимагає ясності понять та тверджень, нічого не сприймає без доведень, проголошує красу та велич логічних міркувань. За словами Ж.Фабра «математика – дивовижна вчителька в мистецтві спрямовувати думки, наводити порядок там, де вони не впорядковані, викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність». Як і будь-яка інша область науки, математика відображає протиріччя оточуючого нас світу. Тому історія математики, звичайно, багата цікавими парадоксами. Особливо багата парадоксами математика випадкового.
Парадокс (від греч. paradoxes – несподіваний, дивний) – несподіване, незвичне судження (висловлення), що різко розходиться із загальноприйнятою, традиційною думкою по даному питанню. Будь-який Парадокс виглядає як заперечення деякої думки, що здається "безумовно правильним". Сам термін "Парадокс" і виник в античній філософії для характеристики нової, незвичайної, оригінальної думки.
Софізми – це хибні результати, отримані за допомогою роздумів, які формально являються правильними.
Парадоксальність – це несподіваність, незвичність, оригінальність, суперечливість собі, вихідним посилкам, загальноприйнятому, традиційному погляду або здоровому глузду по змісту й за формою.
На думку Карла Пірсона, в математиці немає такого іншого розділу, в якому легко допуститися помилки, як в теорії ймовірностей [13] Найбільші відкриття, як правило, дозволяли найбільші парадокси і в той же час вони у свою чергу були джерелом нових парадоксів. Метод навчання Сократа, по якому про нові ідеї треба дізнаватися через парадокси, є самим фундаментальним, тому що процес наукового пізнання сам опирається на парадокси.
Пізніше виникли парадокси, пов'язані з від’ємними й потім комплексними числами. Наприклад, один з парадоксів затверджував, що рівність (-1) : 1 = 1 : (-1) неможливо, тому що відношення меншого числа до більшого не може рівнятися відношенню більшого числа до меншого. У наш час у всіх розділах математики з'явилося кілька нових парадоксів, наприклад, парадокс принципу міні-максу в теорії ігор, парадокси криптографії, парадокс Сетурана. Цікаво, що вже в першій половині минулого століття чеський математик із Праги Б.Больцано присвятив цілу книгу парадоксам нескінченності, хоча найбільш цікаві парадокси нескінченності з'явилися лише після опублікування в 1872 р. праці Г.Кантора по теорії множин. Провідні математики минулого століття такі, як Гаусс, Коші, Кронекер, Пуанкаре й інші, відкидали поняття актуальної нескінченності й приписували нескінченності лише символічне значення. Однак теорія Кантора, у якій використається поняття актуальної нескінченності, є наріжним каменем сучасної математики, хоча варто підкреслити, що "жах перед нескінченним" усе ще не зник.
Актуальність роботи: саме математичні парадокси, як ніщо інше, здатні стимулювати творчу активність учнів та студентів при навчанні математики. Тому задача опису, пояснення і систематизації класичних і сучасних парадоксів теорії ймовірностей та теорії множин – розділів математики, де багато тверджень суперечить здоровому глузду, була і залишається актуальною.
Проблема: надзвичайна абстрактність і практично відсутність наочності в університетських курсах аксіоматичної теорії множин та теорії ймовірностей, що часто відбиває бажання у студентів вивчати ці курси.
Мета: опис і пояснення класичних парадоксів з точки зору їх застосування при вивченні деяких розділів теорії ймовірностей та теорії нескінченних множин з метою її активізації творчої активності учнів і студентів.
Об’єкт: парадоксологія в математиці.
Предмет: парадокси випадкової та актуальної нескінченності як рушійна сила теорії ймовірностей і канторової теорії множин.
Завдання:
описати і пояснити класичні парадокси теорії ймовірностей, показати їх роль в формуванні цієї теорії, як розділу математики.
пояснити геометричні парадокси теорії ймовірностей, показати їх роль в народженні «інтегральної геометрії».
подати розділ «Порівняння множин» спецкурсу «Теорія нескінченних множин» із застосуванням теоретико – множинних парадоксів.
скласти спецкурс з «парадоксальної» теорії ймовірностей для профільних класів ЗОШ.
РОЗДІЛ І. Парадокси теорії ймовірностей
Найбільш прекрасне і глибоке переживання,
яке випадає на долю людини, - це відчуття таємничості.
Воно лежить в основі релігії і всіх найбільш
глибоких тенденцій в мистецтві і науці.
Той, хто не пережив це відчуття, здається мені,
якщо не мерцем, то, у всякому випадку, сліпим.
Альберт Ейнштейн. Моє кредо. 1934
В реальному світі є безліч подій, настання яких однозначно передбачити неможливо. Наприклад, неможливо передбачити: номер лотерейного білета , на який випаде виграш в черговому тиражі; кількість зернин у колосі, що виросте з посіяного зерна пшениці і інші. Але якщо багаторазово спостерігати за настанням певної події за одних і тих самих умов, то можна виявити деякі закономірності, які дозволяють більш визначено говорити про можливість настання цієї події. Так, коли багато разів підряд підкидати монету, можна помітити, що герб випаде приблизно в половині всіх випадків. Такими закономірностями, які виявляються при спостереженні за великою кількістю однірідних випадкових подій займається теорія ймовірностей.
Отже, теорія ймовірностей – це математична наука, що вивчає закономірності випадкових процесів і подій. Теорія ймовірностей, як і багато інших наук, розвинулася з потреб практики. Вона є одним із класичних розділів математики. Основи цього розділу науки були закладені великими математиками. Теорія ймовірностей виникла в середині XVІІ ст., спочатку у зв’язку із задачами теорії азартних ігор. Велике значення у розвитку теорії ймовірностей як галузі математичної науки мали праці швейцарського математика Якоба Бернуллі, французьких математиків П’єра Лапласа та Сімеона Пуассона, німецького математика Карла Гаусса. У ХІХ ст. і на початку ХХ ст. розвиток теорії ймовірностей пов'язаний з іменами академіків Петербурзької Академії наук Пафнутія Чебишова, Андрія Маркова, Олексія Ляпунова.
У наш час теорія ймовірностей знаходить застосування у природознавстві, економіці, на транспорті, у виробництві, медицині, гуманітарних науках.
Важливо розрізняти парадокси і софізми. І парадокси, і софізми дуже цікаві і повчальні, але ця робота головним чином присвячена парадоксам.