5.1. Приближение сильной связи

Р ассмотрим случай, когда электроны находятся в монокристалле, то есть в периодическом потенциальном поле положительных ионов, располагающихся в узлах кристаллической решетки. Линейная цепочка положительных ионов в некотором направлении Х кристалла образует для электронов потенциальный рельеф, показанный на рисунке 5.1.

Изолированные атомы имеют аналогичные потенциальные ямы для электронов, однако отличаются тем, что верхние части кривых приближаются к горизонтальной оси, уходя в бесконечность (глава I). При сближении атомов за счет их взаимодействия видоизменяется верхняя часть кривых, и создаются потенциальные барьера с вершинами, лежащими ниже U =0. Глубина потенциальных ям принципиального значения не имеет, поэтому потенциальной рельеф, представленный на рис. 5.1. Заменяют рельефом с конечной глубиной ям. Кроме того барьеры, разделяющие электроны соседних атомов выбирают прямоугольной формы (рис. 5.2).

О писанную модель потенциального рельефа называют моделью Кронига-Пени.

Предположим вначале, что при создании линейной цепочки атомов все электроны находятся в потенциальных ямах «своих» атомов. Взаимодействие атомов приводит к уменьшению высоты и ширины потенциальных барьеров, что делает возможным туннелирование электронов. Наибольшая вероятность туннельного эффекта существует для внешних электронов, для которых высота барьера U-E минимальна (рис. 5.1). Примем в модели потенциального рельефа дно ямы за начало отсчета потенциальной энергии (рис. 5.2).

При движении электрона в яме со скоростью V за одну секунду осуществляется подходов к барьеру. Частоту туннельных переходов электронов из одного атома цепочки в другой найдем умножив частоту подходов к барьеру на вероятность туннельного эффекта:

(5.2)

Время пребывания электрона в пределах атома равно обратной величине, то есть

(5.3)

Положим см (размер атома), см/сек (скорость теплового движения электрона), эВ (энергия ионизации, например атома Na), см ( расстояние между изолированными атомами).

Из (5.2) и (5.3) находим с^-1, лет.

Следовательно, в системе изолированных атомов вероятность туннельного эффекта ничтожно мала даже для валентных электронов.

Если учесть, что для линейной цепочки атомов в кристалле см, то при сохранении прежних значений для a, V, U-E, находим c^-1 и с.

При столь высокой частоте переходов валентных электронов от атома к атому не имеет смысла связывать их с определенным атомом. Таким образом, туннельный эффект приводит к «обобществлению» валентных электронов.

В соответствии с принципом неопределенностей оценим неопределенность в значении энергии валентных электронов

.

Это означает, что энергетический уровень валентных электронов, имеющий в изолированном атоме ширину 10^-7 эВ, превращается в кристалле в энергетическую зону шириной порядка единиц эВ.

Д ля электронов внутренних оболочек вследствие резкой зависимости от расстояния ширины и высоты барьера (рис. 5.1) вероятность туннельного эффекта низка. Энергетические уровни этих электронов в кристалле такие же узкие как и в атоме. На рис. 5.3 в качестве примера показано изменении энергетических уровней атомов натрия при их сближении.

При расстоянии между атомами натрия равному межатомному расстоянию в кристалле (r = d) уровни 1S и 2S еще заметно не расширяются, в то время как уровень 3S сильно расширен. Еще большему расширению подвергаются уровни ЗР, 3d и т.д., соответствующие возбужденным состояниям атома. Расширение уровней 3S и 3Р настолько велико, что они перекрываются.

Если энергетический уровень в изолированном атоме имеет (2l + 1) – кратное вырождение, то соответствующая ему энергетическая зона в кристалле будет состоять из подуровней, где N- число атомов в кристалле. Снятие вырождения связано с взаимодействием атомов при их сближении на характерное для кристалла расстояние d. Расстояние между уровнями в зоне очень мало. Например, в кристалле размером 1 см³ содержится атомов. При ширине зоны порядка 1 эВ расстояние между уровнями в ней равно  10^-22  10^-23 эВ. На рис. 5.3 видно, что энергетические зоны, в которых имеются разрешенные значения энергии для электронов, отделены друг от друга зонами запрещенных энергий.

Для изображения энергетических зон кристалла обычно пользуются упрощенной энергетической схемой (рис.5.4).

Т ак как электрические, оптические и другие свойства кристаллов объясняются состоянием валентных электронов, то на схеме изображают только две разрешенные энергетические зоны: валентную зону, соответствующую нормальным (невозбужденным) состоянием валентных электронов, и ближайшую к ней зону проводимости (зону возбужденных состояний). Эта зона называется зоной проводимости потому, что в отсутствие внешних возбуждений в ней нет электронов, а при получении необходимой энергии (порядка ) в эту зону переходит электрон из валентной зоны и сможет двигаясь под действием внешнего электрического поля изменять свою энергию.