Уравнение непрерывности для полупроводника
Уравнение непрерывности для проводника отражает закон сохранения заряда
,
(7.71)
где ρ - объемная плотность электрического заряда в рассматриваемой точке.
Если
заряд не накапливается и не расходуется,
то есть сохраняется, то
и уравнение (7.71) принимает вид:
(7.72)
Математически уравнение (7.72) отражает отсутствие в рассматриваемой точке источников и стоков электрических зарядов.
В
отличие от проводников, в полупроводниках
могут протекать процессы генерации и
рекомбинации носителей заряда. Получим
уравнение непрерывности для полупроводника.
Смысл этого уравнения должен состоять
в том, что в стационарном состоянии
число носителей, выходящих из некоторого
объема полупроводника, равно числу
носителей входящих в него и созданных
в нем за счет генерации за вычетом числа
рекомбинированных носителей. Рассмотрим
простейший случай, когда направленная
концентрация неосновных носителей
заряда (например, электронов в
полупроводнике р-типа) изменяется только
вдоль оси ОХ (рис. 7.14).
Избыточная
над равновесным значением n
концентрация неосновных неравновесных
носителей заряда равна разности
.
Число электронов в объеме параллелепипеда равно
(7.73)
Будем полагать, что генерация носителей заряда, вызванная внешними источниками, в рассматриваемом объеме отсутствует.
Тогда изменение числа электронов в объеме dV будет изменяться за счет различия втекающего и вытекающего токов, а также за счет рекомбинации части электронов с дырками.
Полное изменение числа электронов в объеме dV за время dt можно представить в виде:
.
(7.74)
Учтем, что изменение заряда в объеме d V за время d t можно выразить через разность плотностей тока на противоположных к нему гранях параллелепипеда (рис. 7.14).
.
(7.75)
Изменение числа электронов в объеме dV за счет различия токов найдем разделив заряд ∆q на заряд электрона e.
.
(7.76)
Подставив в это выражение формулу (7.62) для плотности электронного тока, получим выражение для ∆N1 в виде:
.
(7.77)
В выражении (7.77) считаем напряженность электрического поля E =const (x).
Изменение числа электронов за счет рекомбинации равно со знаком «минус» произведению скорости рекомбинации на объем dV:
(7.78)
Полное изменение числа электронов в объеме dV, очевидно, равно:
.
(7.79)
Подставив в равенство (7.79) выражения (7.74), (7.77) и (7.78) получим уравнение непрерывности для электронов
.
(7.80)
Если за счет внешнего источника в полупроводнике протекает процесс генерации со скоростью gn, то уравнение непрерывности принимает вид:
.
(7.81)
Аналогичное уравнение можно получить и для дырок в полупроводнике n-типа:
.
(7.82)
Уравнения (7.81) и (7.82) широко используются при анализе процессов протекающих в полупроводниках и полупроводниковых приборах.