6. Диффузионный и дрейфовый токи. Соотношение эйнштейна между подвижностью и коэффициентом диффузии.

Если в полупроводнике создать электрическое поле, то возникнет упорядоченное движение (дрейф) электронов и дырок вдоль силовых линий поля, создавая электрический ток. Ток, созданный движением носителей заряда в электрическом поле, называется дрейфовым. Плотность дрейфового тока в полупроводнике можно представить выражением:

(7.54)

Скорости дрейфа электронов и дырок связаны с напряженностью электрического поля соотношениями

(7.55)

С учетом соотношений (7.55), выражение (7.54) примет вид:

(7.56)

Причиной направленного движения носителей заряда в полупроводнике может служить диффузия, если в некоторой области создана избыточная над равновесной концентрация электронов или дырок.

Ток, обусловленный диффузией носителей заряда, называется диффузионным. Получим выражение для диффузионного тока. Для простоты рассуждений будем считать, что избыточная концентрация электронов изменяется только вдоль оси ОХ и не меняется в других направлениях (рис. 7.11)

С огласно теории диффузии (закон Фика) число электронов, диффузирующих за время dt через поперечное сечение ds стержня из полупроводника, равно:

, (7.57)

где D_n - коэффициент диффузии электронов;

Знак “-“ связан с уменьшением числа электронов в области их избыточной концентрации (правый конец стержня).

Умножим обе части уравнения (7.57) на абсолютно езначение заряда электрона, тогда получим уравнение:

. (7.58)

В уравнении (7.58) dq представляет собой заряд перенесенный за счет диффузии за время dt через поперечное сечение стержня ds.

Из (7.58) находим плотность диффузионного тока электронов:

. (7.59)

Условимся считать ток положительным, если он совпадает с положительным направлением оси ОХ. Учитывая, что за направление тока принимается направление движения положительно заряженных частиц, выражение (7.59) можно записать без знака минус, так как в этом случае знак плотности диффузионного тока правильно определяется знаком градиента концентрации (в рассматриваемом одномерном случае знаком ). Таким образом

. (7.60)

Проводя аналогичные рассуждения для дырочной составляющей диффузионного тока (рис. 7.12) можно получить

. (7.61)

В полупроводнике, в котором создано неравномерное распределение концентрации носителей и помещенном в электрическое поле, будут существовать и дрейфовый и диффузионный токи. Плотности токов электронов и дырок в этом случае будут описываться выражениями:

; (7.62)

. (7.63)

С помощью найденных выражений получим соотношение Эйнштейна между подвижностью и коэффициентом диффузии носителей заряда. Рассмотрим полупроводник р-типа, в котором вдоль оси ОХ создано неравномерное распределение дырок (рис. 7.13).

Диффузионный ток будет переносить дырки справа налево до тех пор, пока не возникнет внутреннее поле такой величины, при которой созданный встречный дрейфовый ток не уравновесит диффузионный ток:

(7.64)

Распределение заряда в условиях равновесия создает распределение потенциала φ(х) (рис. 7.13). Учтем в равенстве (7.64), что , тогда

. (7.65)

Выберем начало отсчета потенциала так, чтобы на правом конце стержня он был равен нулю. Проинтегрируем уравнение (7.65), тогда получим:

(7.66)

Для нахождения постоянной интегрирования используем значения φ = 0 и Р = Р₁ для правого конца стержня (рис. 713).

Таким образом, из выражения (7.66) получаем

^. (7.67)

По закону Больцмана для равновесной концентрации зарядов, поднимающихся за счет теплового движения на энергетический барьер высотой еφ, справедливо выражение

^. (7.68)

Из выражений (7.67) и (7.68) получаем соотношение Эйнштейна для дырок

^. (7.69)

Проводя аналогичные рассуждения для полупроводника с неравномерным распределением электронов можно получить соотношение Эйнштейна для электронов

^. (7.70)

Отметим, что соотношение Эйнштейна имеет универсальный характер, то есть применимо к Свободным носителям заряда любого типа: электроном. Дыркам, ионам, ионным вакансиям. Оно справедливо как для равновесных, так и для неравновесных носителей заряда.