Теория множеств

Основные понятия: множество, способы задания множества, элементы множества, характеристическое свойство элементов множества, пустое и универсальное множества, подмножество, отношения равенства и включения между множествами, операции над множествами их свойства, диаграммы Эйлера-Вена.

1. Пусть . Сколько элементов содержит множество А? Истинными или ложными являются следующие высказывания?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

2. Какие из следующих высказываний являются истинными и какие ложными?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

3. Задайте перечислением следующие множества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

8. множество всех натуральных двузначных чисел, делящихся на 5, но не делящихся на 10;

9. множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5;

10. множество четных чисел от 0 до 20;

11. множество всех чисел от 0 до 30, которые можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

4. а) Какие из следующих множеств конечны (бесконечны, пусты)? Для каждого непустого конечного множества перечислите его элементы:

, ,

, .

б) Какие из указанных множеств связаны отношением включения?

5. Какие из следующих множеств конечны (бесконечны, пусты)? Для каждого непустого конечного множества перечислите его элементы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

6. Какие из следующих множеств непустые? Каждое непустое множество задайте в виде интервала числовой прямой:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

7. Перечислите все подмножества A:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

8. Найдите пересечение множеств А и В.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. А-множество всех четных чисел; В – множество всех чисел кратных трем;

5. А-множество всех ромбов; В – множество всех прямоугольников.

9. Даны множества , , , . Найдите множества:

1. ;

2. 

3. ;

4. ;

5. .

10. Найдите множества , , , , если

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

11. Найти пересечение и объединение множеств:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; ;

4. ; .

12. Дано множество . Найдите такое множество Х, что и .

1 3. На рисунке изображены множества P, Q и S. Отметьте штриховкой области, изображающие множества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

14. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств , .

15. Даны множества , , . Найти

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

16. На диаграммах изображены множества A, B, C. Укажите на каждой диаграмме следующие множества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

диаграмма 1	диаграмма 2	диаграмма 3

17. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

18. Перечислите все подмножества множества A.

1. ;

2. ;

3. .

19. Из множества выделили подмножества A, B и C. Выясните, в каком случае произошло разбиение множества P на классы:

1. , , ;

2. , , ;

3. , , ;

4. , , .

20. Пусть А – множество всех студентов нашего института, В - множество студентов факультета информатики, С – множество отличников, D – множество юношей. Как определить множество юношей – студентов - информатиков нашего института? Какое множество определяет выражение ?

21. Пусть А – множество всех студентов, не сдавших первый экзамен, В - множество студентов, не сдавших второй экзамен. Как определить множество задолжников после двух экзаменов; множество студентов, сдавших оба экзамена. Какое множество определяет выражение ?

22. Должны ли совпадать множества А и В, если

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

В случае возможного несовпадения множеств А и В, привести соответствующий пример.

23. Для каких множеств А и В верно равенство:

1. ;

2. ;

24. Каждое из следующих утверждений либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм Эйлера-Венна, что оно не всегда верно:

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

25. Найдите множество X, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .