10. Колебания и волны

Задачи для самостоятельного решения

10.1. Точка совершает гармонические колебания по закону: х = 2(cos ) м, где — фаза колебания. Начальная фаза колебания равна 15°. Найти модуль смещения точки от положения равновесия к моменту времени, равному 1/12 периода колебаний. Ответ: 1,41.

10.2. Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 1 см и периодом 1 с. Определить максимальное значение ускорения тела. Ответ: 0,4.

10.3. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю, а период — 0,5 с. Найти в градусах фазу колебания через 0,1 с после начала движения. Ответ: 72.

10.4.Точка совершает гармонические колебания вдоль оси Х с амплитудой 0,2 м. Какой путь пройдет точка, сделав 5 полных колебаний? Ответ: 4.

10.5. Точка совершает гармонические колебания с частотой 5 Гц. Определить циклическую частоту колебаний. Ответ: 31,4.

10.6. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси Х с амплитудой 1,5 м. Определить максимальное значение х- координаты тела при колебаниях, если y-координата положения равновесия равна -0,5 м. Ответ: 1.

10.7. Найти период гармонического колебания, фаза которого увеличивается от 0 до 2 радиан за 4 с. Ответ: 12,56.

10.8. Период гармонических колебаний математического маятника уменьшается в 2 раза. На сколько процентов возрастет при этом частота колебаний? Ответ: 100.

10.9. Фаза гармонического колебательного процесса увеличилась на 18° за 0,1 с. Найти частоту колебаний. Ответ: 0,5.

10.10. Максимальное смещение тела из положения равновесия при гармонических колебаниях составляет 20 см. Определить амплитуду колебаний. Ответ: 0,2.

10.11. Маленький шарик находится на дне гладкой сферической чашки радиусом 10 см. Шарик выводят из положения равновесия и отпускают. Определить циклическую частоту малых колебаний шарика. Ответ: 10.

10.12. Тело совершает гармонические колебания с частотой 2 Гц и амплитудой 1 см. Во сколько раз возрастет частота этих колебаний, если амплитуду уменьшить в 2 раза? Ответ: 1.

10.13. Тело совершает гармонические колебания с частотой 8 Гц и амплитудой 4 см. Какое минимальное расстояние пройдет тело при изменении скорости от нулевого до максимального значения?

Ответ: 0,04.

10.14. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси Лс амплитудой 5 см. Какой путь пройдет тело за время, в течение которого фаза колебаний изменится на 3,14 рад? Ответ: 0,1.

10.15. В некоторый момент времени тело, совершающее гармонические колебания вдоль оси Х с амплитудой 5 см, находится в положении равновесия. Определить модуль смещения тела из положения равновесия при изменении фазы колебания на 1,57 рад? Ответ: 0,05.

10.16. Тело совершает гармонические колебания по закону x=0,5cos(3,14t) м, где t— время в секундах. Определить частоту колебаний точки. Ответ: 0,5.

10.17. Найти частоту гармонического колебания, если фаза колебания за первую секунду возросла от 0 до 0,628 рад. Ответ: 0,1.

10.18. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси X. Расстояние между точками, в которых скорость тела равна нулю, равно 4 см. Определить амплитуду гармонических колебаний. Ответ: 0,02.

10.19. В процессе гармонических колебаний с амплитудой 2 см и частотой 3 Гц тело сместилось из положения равновесия на 2 см. Определить скорость тела в данный момент времени. Ответ: 0.

10.20. Точка совершает колебания по закону x=0,5cos(0,3l4 + 0,314 t) м, где t—время в секундах. Найти в градусах фазу колебаний через 2 с после начала процесса. Ответ: 54.

10.21. Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси X, проходит путь 2 м за 2 полных колебания. Определить амплитуду колебаний точки. Ответ: 0,25.

10.22. Найти величину максимального ускорения тела, совершающего гармонические колебания с циклической частотой 10 рад/с и амплитудой 0,5 см. Ответ: 0,5.

10.23. Тело совершает гармонические колебания. Во сколько раз время прохождения телом расстояния от положения равновесия до половины амплитуды меньше времени прохождения расстояния от половины амплитуды до ближайшей точки поворота? Ответ: 2.

10.24. Точка совершает колебания по закону х= 0,2cos(0,28 +3,14t) м, где t — время в секундах. Найти в радианах фазу колебания через первые 0,5 периода. Ответ: 3,42.

10.25. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и периодом 0,1 с. Определить максимальное значение скорости тела. Ответ: 6,28.

10.26. Точка совершает гармонические колебания с периодом б с. За какое время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения? Ответ: 1.

10.27. За какое время точка, совершающая гармонические колебания с периодом 12 с, смещается из положения равновесия на половину амплитуды? Ответ: 1.

10.28. На горизонтальной подставке, совершающей гармонические колебания по вертикали, лежит груз. При какой минимальной амплитуде колебаний груз оторвется от подставки, если период колебаний равен 1,57 с? Ответ записать в сантиметрах. Ответ: 62,5.

10.29. Период колебаний математического маятника равен 0,1 с. При какой частоте внешнего воздействия наступит явление резонанса? Ответ: 10.

10.30. Маятник установлен в кабине автомобиля, движущегося прямолинейно со скоростью 20 м/с. Определить частоту колебаний маятника, если за время, в течение которого автомобиль проходит 200 м, маятник совершает 27 полных колебаний. Ответ: 2,7.

10.31. Один математический маятник совершает 75 полных колебаний за 5 с, а второй — 18 колебаний за 6 с. Во сколько раз частота колебаний первого маятника больше частоты колебаний второго?

Ответ: 5.

10.32. Определить период колебаний математического ма­ятника, длина которого равна 2,5 м.

Ответ: 3,14.

10.33. Определить длину математического маятника, совершающего вблизи поверхности Земли 4 полных колебания за 8с. Ответ: 1.

10.34. Определить первоначальную длину математического маятника, если при изменении его длины до 4 метров период колебаний маятника увеличился в 2 раза. Ответ: 1.

10.35. Частота гармонических колебаний математического маятника возрастает в 2 раза. На сколько процентов уменьшится при этом период колебаний маятника? Ответ: 50.

10.36. Период колебаний математического маятника в результате увеличения длины маятника возрос в 3 раза. Во сколь­ко раз увеличена длина маятника? Ответ: 9.

10.37. Во сколько раз уменьшится период колебаний математического маятника при увеличении ускорения свободного падения в 9 раз? Ответ: 3.

10.38. Два маятника начинают колебания с одинаковыми начальными фазами, но различными частотами — 0,25 Гц и 0,2 Гц. Найти минимальный интервал времени, через который фазы колебаний совпадают. Ответ: 20.

10.39. Определить первоначальную длину математического маятника, если при изменении его длины до 4 м период колебаний маятника уменьшился в 2 раза. Ответ: 16.

10.40. Определить длину математического маятника, если явление резонанса вблизи поверхности Земли наблюдается при частоте внешнего воздействия 1 Гц. Ответ: 0,25.

10.41. Один математический маятник имеет период колебаний 5 с, а другой — 3 с. Определить период колебаний маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников. Ответ: 4.

10.42. Математический маятник длиной 2,5 м совершил 100 полных колебаний за 314 с. Определить ускорение свободного падения для данной планеты. Ответ: 10.

10.43. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой — 4 с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников? Ответ: 5.

10.44. Во сколько раз период колебаний математического маятника на некоторой планете больше, чем на Земле, если ра­диус планеты вдвое меньше радиуса Земли, а плотности одинаковы? Ответ: 1,41.

10.45. Математический маятник совершает гармонические колебания. На сколько процентов следует уменьшить его длину, чтобы период колебаний уменьшился в 1,25 раза? Ответ: 36.

10.46. На какую высоту над Землей надо поднять математический маятник, чтобы период его колебаний увеличился на 1%? Радиус Земли 6400 км. Ответ дать в километрах. Ответ: 64.

10.47. Определить в миллисекундах период колебаний математического маятника длиной 0,2 м, находящегося в ракете, взлетающей с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением 10 м/с². Ответ: 628.

10.48. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1,024 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачиваться под действием ударов колес о стыки рельсов? Длина рельсов 12,56 м. Ответ: 6,25.

10.49. Во сколько раз возрастет период колебаний математического маятника, помещенного в вертикальное однородное электрическое поле с напряженностью 10 мВ/м? Заряд шарика равен 0,1 мкКл. Масса шарика равна 0,2 кг. Ответ: 1,41.

10.50. Длина одного из математических маятников на 1,5 см больше длины другого. За одно и то же время первый маятник делает 7 колебаний, второй — на одно колебание больше. Определить в миллисекундах период колебаний второго маятника. Ответ: 439,6.

10.51. Два математических маятника начинают колебания с одинаковыми начальными фазами, но различными периодами колебаний — 4 с и 5 с. Найти максимальную частоту совпадения фаз колебаний.

Ответ: 0,05.

10.52. Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости на пружине жесткостью 500 Н/м. Найти амплитуду колебаний, если модуль максимальной силы упругости пружины равен 40 Н.

Ответ: 0,08.

10.53. Найти массу груза, который на пружине с коэффициентом жесткости 250 Н/м, совершает 20 колебаний за 16 с.Ответ: 4.

10.54. Груз массой 0,1 кг, подвешенный к пружине, совершает 300 колебаний в минуту. Определить жесткость пружины. Ответ: 100.

10.55. Найти в миллисекундах период гармонических колебаний тела массой 125 г, подвешенного на пружине жесткостью 50 Н/м. Ответ: 314.

10.56. Шар, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой 0,05 м. Определить коэффициент жесткости пружины, если в ходе колебаний максимальное значение силы упругости пружины равно 30 Н. Ответ: 600

10.57. Пружинный маятник совершает малые гармонические колебания. Во сколько раз нужно увеличить коэффициент жесткости пружины маятника, чтобы циклическая частота колебаний возросла в 2 раза? Масса колеблющегося тела не меняется. Ответ: 4.

10.58. Тело массой 2 кг движется вдоль оси Х под действием силы, проекция которой на ось Х меняется по закону: F= -2х Н. Определить минимальное время, за которое тело побывает во всех допустимых точках своей траектории. Ответ: 3,14.

10.59. Математический маятник длиной 50 см и тело на пружине жесткостью 200 Н/м совершают синхронные гармонические колебания. Найти массу тела. Ответ: 10.

10.60. Тело, подвешенное на пружине жесткостью 1000 Н/м, совершает гармонические колебания с циклической частотой 25 рад/с. Найти массу тела. Ответ: 1,6.

10.61. Шар массой 800 г висит на пружине. Собственная циклическая частота колебаний системы равна 25 рад/с. Найти коэффициент жесткости пружины. Ответ: 500.

10.62. Определить модуль вектора деформации пружины под действием неподвижно висящего на ней груза, если период малых колебаний груза равен 0,6 с. Ответ привести в сантиметрах. Ответ: 9.

10.63. Когда груз неподвижно висел на вертикальной пружине, ее удлинение было равно 2,5 см. Затем груз оттянули и отпустили, вследствие чего он начал совершать гармонические колебания. Каков период этих колебаний в миллисекундах? Ответ: 314.

10.64. Тело массой 0,1 кг совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости под действием упругой силы со стороны пружинки с коэффициентом жесткости 1000 Н/м. Определить амплитуду колебаний, если максимальная скорость равна 3 м/с. Трением пренебречь. Ответ: 0,03.

10.65. Частота гармонических колебаний тела возрастает с 2 Гц до 3 Гц, а амплитуда остается без изменения. Определить, во сколько раз увеличивается при этом максимальное значение кинетической энергии тела. Ответ: 2,25.

10.66. Тело массой 0,1 кг совершает гармонические колебания с частотой 4 Гц и амплитудой б см. Определить кинетическую энергию тела в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет 6 см. Ответ: 0.

10.67. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 0,05 Дж, а максимальная сила, действующая на тело, равна 2 Н. Определить в сантиметрах амплитуду колебания тела. Ответ: 5.

10.68. Тело совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости на пружине жесткостью 300 Н/м. Амплитуда колебаний равна 4 см. Найти полную энергию колебательного процесса. Ответ: 0,24.

10.69. Математический маятник длиной 2,5 м совершает колебания, причем его максимальная скорость равна 5 м/с. На какой наибольший угол в градусах отклоняется нить от вертикали? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ: 60.

10.70. Тело совершает гармонические колебания с частотой б Гц и амплитудой 2 см. Во сколько раз увеличится полная энергия колебаний, если амплитуду колебаний увеличить в 1,3 раза? Частота колебаний не меняется. Ответ: 1,69.

10.71. Частота гармонических колебаний тела возрастает на 20%. Во сколько раз возрастет при этом полная энергия колебаний? Амплитуда колебаний не изменяется. Ответ: 1,44.

10.72. Тело массой 0,1 кг совершает гармонические колебания вдоль оси Х с амплитудой 2 см и частотой 6 Гц. Насколько изменится кинетическая энергия тела за время, в течение которого фаза колебания изменится на 3,14 рад? Ответ: 0.

10.73. Период малых колебаний математического маятника равен 2 с. На какой максимальный угол в градусах будет отклоняться нить от вертикали, если при колебаниях, проходя положение равновесия, шарик движется со скоростью, равной 5 м/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ: 60.

10.74. Математический маятник колеблется по закону = 1,5cos(0,5t), где —угол отклонения нити от положения равновесия, t — время в секундах. Найти максимальное значение центростремительной силы, если полная энергия колебаний равна 3 Дж. Ответ: 0,15.

10.75. Период гармонических колебаний тела возрастает с 1 с до 2 с. Во сколько раз уменьшится при этом полная энергия колебаний? Амплитуда колебаний не изменяется. Ответ: 4.

10.76. Тело массой 0,2 кг совершает гармонические колебания с циклической частотой 5 рад/с. Полная энергия колебаний тела равна 0,1 Дж. Определить амплитуду колебаний. Ответ: 0,2.

10.77. Груз массой 0,5 кг зажат на горизонтальной поверхности между двумя пружинами с коэффициентом жесткости 2500 Н/м. Какой будет амплитуда колебаний груза, если ему сообщить скорость 3 м/с вдоль оси пружин. Трение не учитывать. Ответ: 0,03.

10.78. Тело совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной в тот момент времени, когда смещение тела из положения равновесия составляет половину амплитуды? Ответ: 3.

10.79. Скорость распространения волны равна 15 м/с. Определить частоту, если длина волны равна 0,5 м. Ответ: 30

10.80. Звуковая волна распространяется со скоростью 340 м/с и частотой 1000 Гц. Определить длину звуковой волны при этих условиях. Ответ: 0,34.

10.81. Скорость распространения волны равна 15 м/с. Определить длину распространяющейся волны, если ее частота 30 Гц. Ответ: 0,5.

10.82. Во сколько раз увеличится скорость распространения волны, если длина волны возрастает в 2 раза, а период колебаний остается без изменения? Ответ: 2.

10.83. Определить модуль разности фаз колебаний двух точек, удаленных от источника колебаний на расстояние 3,5 м и 2 м, если период колебаний равен 0,25 с, а скорость распространения колебаний составляет 6 м/с. Ответ: 6,28.

10.84. Колебания заряда в контуре происходят по закону: q= 0,01cos(2000 t) Кл, где t — время в секундах. Определить полную энергию контура, если через 1/6 периода после начала колебаний ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности равна 2В. Ответ: 0,02.

10.85. Звуковая волна распространяется со скоростью 330 м/с. Определить длину звуковой волны, если наименьшее расстояние между точками, совершающими колебания в одина­ковой фазе, составляет 0,33 м. Ответ: 0,33.

10.86. Во сколько раз скорость распространения первой волны больше скорости распространения второй, если ее длина в 5,4 раза, а период в 2 раза больше? Ответ: 2,7.

10.87. Во сколько раз возрастет скорость распространения волны, если длину волны и период увеличить в 2 раза? Ответ: 1.

10.88. Звуковая волна распространяется со скоростью 330 м/с. Определить длину звуковой волны, если наименьшее расстояние между точками, совершающими колебания в противофазе, равно 0,17 м.

Ответ: 0,34.

10.89. Определить скорость звука в воде, если источник звука, колеблющийся с периодом 0,002 с, возбуждает в воде волны длиной 2,9 м. Ответ: 1450.

10.90. Лодка качается на волнах, распространяющихся со скоростью 2,5 м/с. Расстояние между двумя ближайшими гребнями волн равно 8 м. Определить период колебаний лодки. Ответ: 3,2.

10.91. Скорость звука в воде равна 1450 м/с. На каком минимальном расстоянии находятся точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 725 Гц? Ответ: 1.

10.92. Контур настроен на прием электромагнитных волн с циклической частотой 10000 рад/с. Определить индуктивность контура, если емкость равна 0,2 мкФ. Ответ: 0,05:

10.93. Сила тока в электромагнитном контуре меняется по закону: t= 4sin(2000 t) А, где t — время в секундах. Определить в милликулонах максимальный заряд на обкладках конденсатора. Ответ: 2.

10.94. Период колебаний в электромагнитном контуре возрастает в 2 раза за счет увеличения емкости конденсатора. Во сколько раз увеличили емкость конденсатора. Ответ: 4.

10.95. Заряд конденсатора в колебательном контуре меняется по закону: q=0,01cos(314 t) Кл, где t—время в секундах. Найти заряд конденсатора через 2 с после начала колебаний. Ответ: 0,01.

10.96. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,01 мкФ и катушки, индуктивность которой равна 1/90 мГн. На какую длину волны настроен контур? Сопротивлением контура пренебречь. Ответ: 628.

10.97. Индуктивность контура равна 0,01 Гн, а емкость — 1 мкФ. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 200 В. Какой наибольший ток возникает в контуре в процессе электромагнитных колебаний? Ответ: 2.

10.98. При включении конденсатора в цепь переменного тока с циклической частотой 200 рад/с его емкостное сопротив­ление равно 50 Ом. Определить в микрофарадах емкость конденсатора. Ответ: 100.

10.99. Во сколько раз увеличится индуктивное сопротивление катушки, если ее включить в сеть переменного тока с часто­той 10 кГц вместо 50 Гц? Ответ: 200.

10.100. Катушка индуктивностью 0,2 Гн включена в сеть переменного тока с частотой 50 Гц. Определить индуктивное сопротивление катушки. Ответ: 62,8.

10.101. Понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации 24 включен в сеть напряжением 120 В. Вторичная катушка трансформатора присоединена к прибору, через который идет ток 0,5 А. Определить сопротивление прибора, если сопротивление вторичной катушки трансформатора равно 2 Ом, а КПД 95%. Ответ: 7,5

10.102. Контур состоит из индуктивности 0,2 Гн и емкости 10 мкФ. Конденсатор заряжен до напряжения 200 В. Какой будет сила тока в контуре в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полем? Ответ: 1.

10.103. В контуре, емкость которого равна 3 мкФ, а индуктивность составляет б мГн, возбуждаются электромагнитные колебания с полной энергией 0,02 Дж. Определить максимальное значение энергии электрического поля в конденсаторе. Ответ: 0,02.

10.104. Полная энергия колебаний в контуре равна 5 Дж. Найти максимальную силу тока в контуре, если индуктивность катушки равна 0,1 Гн. Ответ: 10.

10.105. В контуре имеются конденсатор емкостью 2 мкФ и индуктивность, равная 4 мГн. При возбуждении в контуре электромагнитных колебаний максимальное значение энергии электрического поля в конденсаторе равно 0,01 Дж. Определить максимальное значение энергии магнитного поля в индуктивности Ответ: 0,01.

10.106. Конденсатор емкостью 10 мкФ зарядили до напряжения 1000 В и подключили к катушке. Какое количество теплоты выделится в контуре за время, в течение которого амплитуда напряжения в ходе затухающих колебаний уменьшится в 2 раза? Ответ: 3,75.

10.107. В колебательном контуре возбуждены незатухающие гармонические колебания. Во сколько раз энергия электрического поля в конденсаторе больше энергии магнитного поля в индуктивности в тот момент, когда сила тока в катушке в 2 раза меньше амплитудного значения? Ответ: 3.

10.108. В колебательном контуре напряжение на конденсаторе меняется по закону: и = 400cos(3140 t) В, где t — время в секундах. Найти энергию колебаний, если емкость конденсатора равна 1 мкФ.

Ответ: 0,08.

10.109. Ток в колебательном контуре меняется по закону: i= 6 sin А, где — фаза колебаний. Найти энергию электрического поля в конденсаторе, когда фаза колебаний равна 60°. Индуктивность контура равна 0,1 Гн. Ответ: 0,45.

10.110. Колебательный контур составлен из индуктивности 0,1 Гн и конденсатора емкостью 10 мкФ. Когда напряжение на конденсаторе равно 30 В, сила тока в контуре равна 0,4 А. Ка­кова максимальная сила тока в контуре? Ответ: 0,5.

10.111. Точечный источник сферической электромагнитной волны находится в начале прямоугольной системы координат (X,Y,Z), где x,y,z заданы в метрах. Определить разность фаз колебаний вектора напряженности электрического поля в точках (1;1;1) и (-1;1;-1). Ответ: 0.

10.112. Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси X прямоугольной системы координат (X,Y,Z), где x,y,z заданы в метрах. Определить разность фаз колебаний в точках (2;3;6) и (2;4;2). Ответ: 0.