3. Метод потенціалів

Алгоритм розв’язування транспортної задачі цим методом проілюструємо на конкретному випадку.

Задача. На трьох складах заводу з виготовлення сільськогосподарських машин є така їх кількість: на першому складі – 30, на другому – 40 і на третьому – 53. Ці машини повинні бути відправлені в чотири райони, потреба яких становить: першого – 22, другого – 35, третього – 25, четвертого – 41 машину.

Затрати на перевезення однієї машини (в грн.) наведені в табл.13.

Необхідно скласти такий план перевезень, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними.

Таким чином, перед нами типова задача лінійного програмування, в якій необхідно знайти екстремальне значення цільової функції, тобто мінімум затрат на перевезення.

Для розв’язання даної задачі методом потенціалів спочатку всю інформацію розмістимо в таблиці.

В таблиці 14 вписана вся інформація задачі і, крім того, є ще вільна одна колонка справа і один рядок внизу для розрахунку так званих потенціалів.

Таблиця 13 – Затрати на перевезення однієї машини

Склади заводу	РАЙОНИ
	1	2	3	4
І	23	27	16	18
ІІ	12	17	20	41
ІІІ	22	28	12	32

Опорний варіант плану можна складати одним із слідуючих способів:

а) методом апроксимації;

б) способом розподілу по клітинках з найкращими оцінками;

в) за правилом північно-західного кута.

Таблиця 14 – Інформація задачі

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
I	23	27	16	18	30	U1
II	12	17	20	41	40	U2
III	22	28	12	32	53	U3
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	V1	V2	V3	V4

В нашій задачі опорний варіант плану складемо за правилом північно-західного кута. За цим правилом заповнення кліток проводиться, починаючи з крайньої північно-західної і дальше вправо - вниз в міру потреби і наявності вантажів по відповідних споживачах і постачальниках, тобто заповнення проводиться від клітки К₁₁ (буквою К позначається будь-яка клітка) до клітки К_mn. Наприклад, в клітку К₁₁ можна занести максимальну кількість машин – 22, так як в першому районі потрібно стідьки ж, хоч на першому складі є в наявності 30 машин, а в клітку К₁₂ можна занести 8 машин, тобто стільки, скільки залишилося на першому складі (30-22=8), хоч у другому районі потрібно 35 машин і т.д. в міру наявності і потреби (табл.15).

Після складення опорного плану здійснюється перевірка щодо дотримання умов задачі. Алгоритм задачі вимагає, щоб кількість заповнених кліток дорівнювала m + n - 1, тобто сумі рядків і стовбців без одиниці (m – кількість рядків, n – кількість стовпчиків). Бувають випадки, коли кількість заповнених кліток менша m + n - 1. В такому випадку у відповідні клітки записують нуль і вважають їх заповненими.

Таблиця 15 – Опорний варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
I	23 22	27 8	16	18 +	30	0
II	12	17 27 +	2 0 1 3	41	40	10
III	22	28	1 2 12 +	32 4 1	53	U3
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	23	27	30	50

Дальше перевіряють план на оптимальність. Для перевірки опорного і наступних планів на оптимальність визначають ряд чисел, які називаються потенціалами. Порівняння цих потенціалів з оцінками ефективності ( в нашій задачі з вартостями перевезень) в клітках таблиці лежить в основі ознаки оптимальності розв’язання задачі.

Під потенціалами розуміють довільну систему чисел ( V_j i U_i ), які вираховуються для всіх заповнених кліток за правилом, згідно з яким різниця між потенціалами стовпчиків (споживачів) і рядків (постачальників) повинна дорівнювати величині оцінки у відповідній клітці, тобто

V_j – U_i = C_ij, (1)

де V_j – потенціал j-ої колонки (в нашій задачі це потенціал j-го споживача – району);

U_i – потенціал і-го рядка ( в нашій задачі це потенціал і-го постачальника- складу);

C_ij – оцінка (вартість перевезення від і-го постачальника до j-го споживача).

В зв’язку з тим, що потенціали визначаються для кожного постачальника і споживача, то загальна їх кількість повинна обов’язкозково дорівнювати величині (m + n). Оскільки кількість заповнених кліток дорівнює (m + n - 1), кількість потенціалів буде на одиницю більша числа заповнених кліток. Тому на першому етапі розрахунку потенціалів одному із них – потенціалу будь-якого рядка чи стовпчика дозволяється присвоювати довільне значення. Для полегшення розрахунків доцільно потенціалу першого рядка присвоювати нульове значення. Значення вирахованих потенціалів записуються у відповідні клітки стовпчиків і рядків потенціалів (табл.15).

Отже, нехай U₁ (потенціал першого рядка) дорівнює нулю. В цьому рядку є дві заповнені клітки – К₁₁ з величиною поставки 22 і К₁₂ з величиною поставки 8. Оцінка клітинки К₁₁ (С₁₁) дорівнює 23, а оцінка клітинки К₁₂ (С₁₂) дорівнює 27. Користуючись формулою (1), можна визначити потенціали першого і другого стовпчиків (V₁ i V₂). Підставивши у формулу (1) значення U₁=0 і С₁₁= 23, одержимо, що V₁= С₁₁ + U₁, тобто V₁= 23 +0 = 23. Аналогічно вираховуємо потенціали останніх рядків і стовпчиків.

V₂= С₁₂ + U₁ = 27 + 0 = 27;

U₂ = V₂ – С₂₂ = 27 – 17 = 10;

V₃ = U₁ + С₂₃ + 10 +20 = 30;

U₃ = V₃ – С₃₃ = 30 – 12 = 18

V₄ = U₃ + С₃₄ = 18 + 32 = 50.

Після вирахування значень потенціалів їх необхідно використати для дослідження характеристик незаповнених кліток К₁₃, К₁₄, К₂₁, К₂₄, К₃₁, К₃₂. План вважається оптимальним тоді, коли для всіх незаповнених кліток виконується вимога:

V_j – U_i <=C_ij. (2)

Якщо хоча б для однієї незаповненої клітки дана вимога не виконується - план не оптимальний і необхідно продовжувати ітеративний процес.

Розрахуємо за формулою (2) всі характеристики для незаповнених кліток таблиці 15.

Для К₁₃ 30 – 0 = 30 > 16

для К₁₄ 50 – 0 = 50 > 18

для К₂₁ 23 – 10 = 13 >12

для К₂₄ 50 – 10 = 40 < 41

для К₃₁ 23 – 18 = 5 < 22

для К₃₂ 27 – 18 = 9 < 28

Три клітки - К₁₃, К₁₄, К₂₁ не підходять під ознаку оптимальності. Отже, план завезень машин, який представлений в таблиці 15, не оптимальний і загальну вартість перевезень можна зменшити.

Для вибору напрямку покращення плану необхідно вирахувати для тих кліток, для яких порушується вимога (2), різницю між потенціалами і оцінками за формулою:

d_ij = V₁ – U_i – C_ij (3)

Підставимо конкрентні дані:

d₁₃ = V₃ – U₁ – C₁₃ = 30 – 0 – 16 = 14;

d₁₄ = V₄ – U₁ – C₁₄ = 50 – 0 – 18 = 32;

d₂₁ = V₁ – U₂ – C21 = 23 – 10 – 12 = 1.

Клітку, в якій є найбільше значення d_ij, називають ключовою. З неї і починають поліпшення плану. В нашому випадку найбільше значення d_ij (32) має клітка К₁₄. Для поліпшення плану будують замкнутий цикл (многокутник), який повинен з’єднати ключову клітку з іншими заповненими клітками, але так, щоб загальна кількість охоплених циклом кліток завжди була парною. Цикл може проходити через заповнені і незаповнені клітки, однак повороти вершин обов’язково необхідно робити в заповнених клітках під прямим кутом. В нашому випадку такий замкнутий цикл буде проходити по клітках К₁₄ →К₁₂ →К₂₂ →К₂₃ →К₃₃ →К₁₄ (таблиця 15), охопивши 6 кліток, із яких одна незаповнена і 5 заповнених.

Після побудови многокутника в клітки з вершинами проставляють почергово знаки плюс і мінус, починаючи з ключової клітки. Кількість додатніх і від’ємних вершин многокутника повинна бути одинаковою.

Знаходять найменше значення Х_ij у клітках з від’ємними вершинами. Це число додають до всіх значень Х_ij у клітках із додатними і віднімають від значень Х_ij у клітках із від’ємними вершинами. Найменшим значенням Х_ij буде 8 у клітці К₁₂. В клітку К₁₄, яка була не заповненою, заносимо число 8, у клітці К₁₂, в якій було 8 машин, після віднімання 8 нічого не залишиться і вона буде не заповненою. Подібним чином до числа 27 в клітці К₂₂ додаємо 8 і в ній буде 35 машин, а із клітки К₂₃ заберемо 8 машин і в ній залишиться 5 машин. В клітку К₃₃ додамо 8 машин і в ній стане 20 машин, а з клітки К₃₄ заберемо 8 машин і в ній залишиться 33 машини. Після такого переміщення одержимо новий план завезень машин, наведений у таблиці 16.

Транспортні витрати при такому плані завезень машин будуть дорівнювати 2641 грн. (22х23) + (8х18) + (35х17) + (5Х20) + (20Х12) + (33х32) = 2641 грн., що на 256 грн. менше в порівнянні з попереднім (опорним) варіантом плану.

Дальше вся вирахувальна процедура повторюється. Для того, щоб перевірити на оптимальність новий варіант плану (табл.16), знову вираховують потенціали, використовуючи при цьому формулу (1) і записують їх у відповідні клітки стовпчика і рядка потенціалів. Використовуючи формулу (2),

Таблиця 16 – Другий варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
I	- 23 22	27	16	18 8 +	30	0
II	12 +	17 35	20 5 -	41	40	-22
III	22	28	1 2 20 +	32 33 -	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	23	-5	-2	18

розраховують для незаповнених кліток характеристики.

Для К₁₂ -5 – 0 = -5 < 27

для К₁₃ -2 – 0 = -2 < 16

для К₂₁ 23 – (-22) = 45 >12

для К₂₄ 18 – (-22) = 40 < 41

для К₃₁ 23 – (-14) = 37 >22

для К₃₂ -5 – (14) = 9 < 28

Ознака оптимальності не дотримується для двох кліток – К₂₁ і К₃₁. Tому даний план завезень машин не є оптимальним, значить загальну вартість перевезень можна зменшити.

За формулою (3) вираховуємо різницю між потенціалами і оцінками:

d₂₁ = 23 – (-22) – 12 = 33

d₃₁ = 23 – (-14) – 22 = 15.

Найбільше значення d_ij (d₂₁ = 33) знаходиться в клітці К₂₁, яка і буде ключовою. З цієї клітки за вище описаним правилом будуємо замкнутий цикл, який пройде по клітках: К₂₁→К₁₁→К₁₄→К₃₄→К₃₃→К₂₃→К₂₁ (табл.16). Після побудови замкнутого циклу в клітки, починаючи із ключової, проставляємо почергово знаки плюс і мінус. Найменшим значенням X_ij, яке знаходиться в клітці із знаком мінус, буде 5 (клітка К₂₃). Це значення X_ij (число 5) додаємо до значень X_ij в клітках із знаком плюс і віднімаємо від значень X_ij в клітках із знаком мінус. Після такого переміщення знову одержимо новий план завезень машин, який наведений в таблиці 17.

Загальні транспортні витрати при цьому плані завезень машин будуть дорівнювати 2476 грн., або на 165 грн. менше від попереднього плану і на 421 грн. менше від опорного плану.

Однак результати вирахувальних процедур показують, що цей варіант

плану не оптимальний. Поліпшення його за описаною вище методикою і наведемо в таблиці 18.

Таблиця 17 – Третій варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
I	- 23 17	27	16	+ 18 23	30	0
II	12 5	17 35	20	41	40	11
III	22 +	28	12 25	32 28 -	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	23	28	-2	18

При такому плані перевезень машин загальні транспортні витрати будуть дорівнювати 2221 грн., що на 255 грн. менше в порівнянні із попереднім варіантом плану.

Таблиця 18 – Четвертий (оптимальний) варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
I	23	27	16	18 30	30	0
II	12 5	17 35	20	41	40	-4
III	22 17	28	12 25	32 11	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	8	13	-2	18

Використавши формулу (1) вираховуємо нові потенціали, які запишемо у відповідні клітки стовпчика і рядка потенціалів.

За формулою (2) перевіримо план на оптимальність.

Для К₁₁ 8 - 0 = 8 < 23

для К₁₂ 13 - 0 = 13 < 27

для К₁₃ -2 – 0 = -2 <16

для К₂₃ -2 – (-4) = 2 < 20

для К₂₄ 18 – (-4) = 22 < 41

для К₃₂ 13 – (-14) = 27 < 28

Оскільки, ознака оптимальності дотримується для всіх незаповнених кліток, одержаний план завезень машин є оптимальним. Згідно оптимального плану необхідно: із першого складу всі машини направити в 4-й район, із другого складу 5 машин необхідно направити в 1-й район і 35 – в 2-й, із третього складу – 17 машин в 1-й район, 25 – в 3-й і 11 – в 4-й район. Тільки при такому плані перевезень машин загальні транспортні витрати будуть мінімальними.

Примітка. Методом потенціалів можна успішно розв’язувати транспортні задачі не тільки на мінімум, але й на максимум лінійної функції. Для цього необхідно змінити знак (поставити знак “мінус”) усіх оцінок змінних невідомих і розв’язувати задачу аналогічно як на мінімум.

При складанні опорного плану способом розподілу по клітках з найкращими оцінками, найкращі оцінки можна вибирати: по рядках, по колонках, одночасно по всіх клітках таблиці. Цей спосіб зрозумілий і логічний. Алгоритм побудови опорного плану цим способом розглянемо на тому ж прикладі (таблиця 19).

Згідно з цим способом вибираємо клітки з найкращими оцінками і з врахуванням обсягів обмежень записуємо відповідне значення Х_ij. Розподіл проводимо до того часу, поки не будуть розподілені всі наявні у постачальників товари і задоволені потреби всіх споживачів.

Таблиця 19 – Опорний варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
І	23	27	16 25 -	18 + 5	30	0
ІІ	12 22	17 18	20	41	40	-3
ІІІ	22	28 17	12 +	32 - - 36	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	9	14	16	18

При цьому необхідно дотримуватись вимоги, щоби кількість заповнених кліток дорівнювала величині m+n-1, де m – кількість постачальників - 3, n – кількість споживачів – 4. Таким чином кількість заповнених кліток на будь-якій стадії розрахунків повинна бути рівна: 3 + 4 – 1 = 6.

Початковий (опорний) варіант плану буде такий:

в клітку К₁₃ записуємо 25;

в клітку К₁₄ - 5;

в клітку К₂₁ - 22;

в клітку К₂₂ - 18;

в клітку К₃₂ - 17;

в клітку К₃₄ - 36.

Згідно цього плану заповнено 6 кліток, що відповідає вимогам m+n-1. Якби кількість заповнених кліток була меншою цієї вимоги, тоді потрібно було б умовно перейти до такого плану, при якому було б заповнено 6 кліток. Цього досягаємо шляхом заповнення однієї із незаповнених кліток нулем.

Кожна заповнена клітка повинна мати зв’язок з іншою заповненою кліткою по горизонталі або по вертикалі. При виявленні заповненої клітки, яка не має зв’язку з іншими заповненими клітками, в одну із незаповнених кліток по горизонталі або по вертикалі записуємо нуль. Нуль, як правило, записуємо в клітку з кращою оцінкою. Це стосується і перерозподілу величин по відповідних клітках.

Загальні транспортні витрати при такому плані перевезень машин будуть становити:

25*16 + 5*18 + 22*12 + 18*17 + 17*28 + 36*32 = 2688 грн.

Далі перевіряємо план на оптимальність. Для цього визначаємо потенціали за формулою V_j – U_i = C_ij. Вся процедура вирахування потенціалів проводиться так само, як було здійснено вище.

U₁ = 0;

V₃ = 0+16= 16;

V₄ = 0+18= 18;

U₃ = 18-32= -14;

V₂ = -14+28= 14;

U₂ = 14-17= -3;

V₁ = -3+12= 9

За формулою V_j – U_i <= C_ij перевіряємо план на оптимальність.

Отже для К₁₁ 9 – 0 = 9 < 23

для К₃₁ 9 – (-14) = 23 > 22

для К₁₂ 14 – 0 = 14 <= 27

для К₂₃ 16 – (-3) = 19 <= 20

для К₃₃ 16 – (-14) = 30 > 12

для К₂₄ 18 – (-3) = 21 <= 41

Ознака оптимальності не виконується для двох кліток: К₃₁ і К₃₃. Ключовою кліткою буде клітка К₃₃, з якої й починають поліпшення плану. Замкнутий цикл буде проходити по клітках: К₃₃ → К₁₃ → К₁₄ → К₃₄. Знаходимо найменше значення X_ij(25) і додаємо його до всіх значень X_ij у клітках з додатніми вершинами і віднімаємо від значень X_ij у клітках з від”ємними вершинами. На основі цього одержимо новий варіант плану (таблиця 20).

Дальше вся вирахувальна процедура повторюється.

Таблиця 20 – Другий варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
І	23	27	16	18 30	30	0
ІІ	- 12 - 22	17 1 8 +	20	41	40	-3
ІІІ	22 +	28 17 -	12 25	32 11	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	9	14	-2	18

Розраховуємо потенціал за формулою V_j – U_i = C_ij.

U₁ = 0;

V₄ = 0+18= 18;

U₃ = 18-32= -14;

V₃ = -14+28= 14;

U₂ = -14 + 22 = 8;

V₁ = 13-17 =-4.

Таблиця 21 – Третій варіант плану

Bj Ai	1	2	3	4	Наявність машин на складах	Ui
І	23	27	16	18 30	30	0
ІІ	12 5	17 35	20	41	40	-4
ІІІ	22 17	28	12 25	32 11	53	-14
Потреба в машинах	22	35	25	41	123
Vj	8	13	-2	18

Перевіряємо план на оптимальність за формулою V_j – U_i <= C_ij.

для К₁₁ 8- 0 = 8 < 23

для К₁₂ 13 – 0 = 13 <= 27

для К₃₂ 13 – (-14) = 27 > 28

для К₁₃ -2 – 0 = -2 < 16

для К₂₃ -2 – (-4) = 2 <= 20

для К₂₄ 18 – (-4) = 22 < 41

Як видно із розрахунків, умова оптимальності (V_j – U_i <= C_ij) виконується для всіх незаповнених кліток. Отже план оптимальний.

Отже: X₁₁ = 0; X₁₂ = 0; X₁₃=0; X₁₄ = 30; X₂₁ = 5; X₂₂ = 35; X₂₃ = 0;

X₂₄ = 0; X₃₁ = 17; X₃₂ = 0; X₃₃ =25; X₃₄ = 11

Zmin = 30*18 +5 *12 + 35*17 + 17*22 + 25*12 + 11*32 = 540 +60 +595 +374 +300 +352 = 2221 грн.