Умови, які допускають застосування методів лінійного програмування

Методи лінійного програмування це такі методи знаходження оптимальних рішень економічних задач, умови яких сформульовані системою лінійних рівнянь, підпорядкованих певній цільовій функції, яка відображає критерій оптимальності даної задачі. В цьому визначенні відображенні основні вимоги, які допускають застосування методів лінійного програмування.

В першу чергу необхідно, щоб умови задачі могли бути виражені кількісно, через лінійні відношення. Якщо які-небудь умови не піддаються математичному формулюванню, не можуть бути вирішені і виражені конкретними числами, задача не може бути вирішена даними методами. Наприклад, відомо, що на урожайність с.г. культур мають вплив погодні умови, однак як це проявляється і як виміряти степінь цього впливу, як виразити його в рівняннях, поки що невідомо. Не піддається також кількісному вираженню міра впливу кваліфікації керівників підприємства на результати виробництва. Тут приходиться задовільнятися тільки якісними оцінками (слабий, сильний, знаючий, вольовий, безграмотний і т.д.), які поки не вдалося виміряти і виразити математично.

Отже, допустимість математичного формулювання – необхідна вимога для вирішення задач за допомогою лінійного програмування.

Інші вимоги зв’язані з тим, що розв’язання математичної задачі повинно мати певний економічний зміст.

Візьмемо, наприклад, таку умову задачі:

х₁ +х₂ = 500

6х₁ +8х₂ = 2400

Ця система з двох рівнянь і двох невідомих. Розв’язання її дає такі результати: х1 = 500, х2 = -300. З точки зору математики цей розв’язок повністю задовільняє обидва рівняння. Але це буде правильним тільки до тих пір, поки не розкриті конкретні параметри задачі. Припустимо, що господарство має 500 га ріллі і 2400 л/днів запасів праці. Необхідно знайти посівні площі двох культур, якщо відомо, що на 1 га першої культури витрачається 6 л/днів, а на 1 га другої – 8 л/днів.

З цих позицій дана система сформульована цілком конкретно, однак розв’язання її з економічної точки зору абсурдно, поскільки неможливо представити посівну площу культури з від’ємним знаком.

Тому друга головна вимога при використанні лінійних моделей полягає в тому, щоб значення всіх змінних, які входять в задачу, було невід’ємним. Це означає, що будь-яка змінна в процесі розв’язання задачі може приймати нульове, або додатнє значення. В іншому випадку система лінійних рівнянь буде несумісною.

Трохи змінимо систему і припустимо, що об’єм трудових ресурсів збільшений до 3600 л/днів. Тоді система буде мати вигляд:

х₁ +х₂ = 500

6х₁ +8х₂ = 3600

В цьому випадку х1 = 200, х2 = 300 га. Це означає, що змінні одержали додатнє значення і система є сумісною і відповідає другій вимозі – невід’ємності значення змінних. Однак одержане рішення є єдиним, поскільки будь-яке інше рішення (другі значення змінних) не задовільняють рівнянням цієї системи. Така система називається означеною. Однак, як відмічалося, за допомогою методів лінійного програмування відшукується не взагалі рішення, а найкраще, що передбачає наявність в системі рівнянь інших допустимих рішень. Тому наступна вимога в системі лінійних рівнянь виражається в тому, що вона повинна бути не тільки сумісною, але й неозначеною, тобто допускати декілька альтернативних або варіантних рішень.

Дещо видозмінимо систему, допустивши, що ресурси (земля і праця) можуть бути частково недовикористаними. Тоді система буде мати вигляд:

х₁ +х₂ < = 500

6х₁ +8х₂ < = 3600

Таке припущення цілком правомірне. На практиці це часто так і буває. Перетворимо тепер ситему нерівностей в систему рівнянь і одержимо:

х₁ +х₂ +х₃ = 500

6х₁ +8х₂ +х₄ = 3600

В цій системі змінні х3 і х4 означають можливе недовикористання землі і л/днів.

Ця система сумісна, поскільки у випадку х₃ = 0, х₄ = 0, вона має додатнє рішення. Ця система також невизначена, поскільки має не одне допустиме рішення, а багато.

Одне із можливих рішень наведено вище. Друге рішення х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 500, х₄ = 3600. Третє: х₁ = 500, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 600. Четверте: х₁ = 200, х₂ = 250, х₃ = 50, х₄ = 400. Ці приклади можна продовжити і переконатися в тому, що система має безмежну множину допустимих рішень, тобто таких, де значення всіх змінних будуть невід’ємними.

Відмітимо, що сумісні системи, в яких кількість рівнянь менша числа змінних, як правило, є невизначеними.

Остання вимога пов’язана з критерієм оптимальності. Оптимальне рішення залежить від кінцевої цілі задачі. В задачах лінійного програмування любе рішення, в тому числі оптимальне, характеризується чисельно якоюсь величиною. Рішення буде називатися оптимальним, якщо воно виражається мінімальною або максимальною величиною. Іншими словами, в задачах лінійного програмування відшукується крайнє (екстремальне) значення. В економічних задачах кінцевою метою звичайно є досягнення максимуму виходу продукції або мінімуму затрат на її виробництво. Математичне вираження критерія оптимальності називають цільовою функцією. Із сказаного про застосування лінійного програмування для вирішення економічних задач слідує:

1. Всі умови задачі повинні піддаватися математичному формулюванню, тобто повинні бути виражені у формі системи лінійних рівнянь чи нерівностей.

2. Система лінійних рівнянь повинна мати безмежну множину допустимих (невід’ємних) рішень.

3. Постановка задачі передбачає таку економічну ціль, яка може бути виражена цільовою функцією, яка одержує в процесі рішення максимальне обо мінімальне значення.

Однак формальна наявність всіх цих вимог не може дати бажаних результатів, якщо в задачах не буде єдності якісної і кількісної характеристик процесів (явищ). Математичний оптимум далеко не завжди може за довільняти, якщо не враховувати багаточисельні економічні, організаційні, технологічні, технічні умови, які характерні для суті даної задачі. Наприклад, потрібно знайти оптимальний раціон для корови, якій необхідна певна кількість поживних речовин на добу. Якщо при цьому не відобразити потреби корови в певних видах кормів, то можна одержати раціон, який задовільняє перші умові, але який складається з одного виду кормів (наприклад, концентратів). Він може вміщати всі необхідні елементи поживності, але бути зовсім незадовільним для виконання фізіологічних функцій тварини.

Важливо зрозуміти, що одержане рішення задачі тоді буде приємлимим для практики, якщо в ньому математичний оптимум співпадає з економічним. Тому добре знання економіки, економічних проблем, розкриття іх характеристик є незамінною умовою успішного застосування математичних методів.

Академік В.С. Немчинов неодноразово підкреслював, що математичні методи, будучи могутнім допоміжним засобом аналізу, повинні правильно поєднуватись з якісним вивченням економіки.

Необхідно відмітити ще один важливий момент. Яке б ідеальне рішення не було одержано за допомогою математичних методів, воно залишеться на папері, якщо в господарстві немає умов для його перетворення в життя, нераціонально організована праця, технічні засоби поганно поєднуються з трудовими ресурсами і т.д. Математичні методи можуть допомогти виявити наявні резерви, але ввестиіх в дію, реалізувати оптимальну виробничу програму і одержати максимально можливий виробничий результат за даних умов – все це залежить від самого підприємства, можливостей їх керівників.

Економіко-математичне моделювання базується на результатах багатьох наук: організації і плануванні сільського господарства, математичного програмування, економіки сільського господарства, економічної теорії. Без знання економіки і організації, а також технологічних дисциплін неможливі грамотна постановка задачі, їх розробка і розв’язання. Необхідно також добре знати логіку математичних перетворень, щоб глибше зрозуміти розв’язання, тобто ту інформацію, яка несе в собі оптимальний розв’язок, а також щоб зуміти відкоригувати оптимальний розв’язок і отримати новий, більш реальний варіант.

Тому в навчальному плані цього курсу передує вивчення математики, інформатики і автоматизації обліку, статистики, економічної теорії, планування та організації сільськогосподарського виробництва, а також цілого циклу технологічних дисциплін.

Мета курсу – навчання майбутніх спеціалістів основних економіко-математичних методів, які використовуються в планових розрахунках у сільському господарстві на основі сучасної електронно-обчислювальної техніки, показати на прикладі їх можливості і найважливіші напрями розвитку.

В результаті вивчення цього курсу студенти повинні навчитися грамотно формулювати і ставити економіко-математичну задачу, виражати її умови у вигляді системи математичних рівнянь і нерівностей, набути практичних навичок з обгрунтування і підготовки потрібної для моделювання вихідної інформації, оволодіти прийомами розроблення конкретних економіко-математичних моделей.

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Д ЛЯ СТУДЕНТІВ ЕКОНОМІЧНОГО ФАКУЛЬТЕТУ

СИМПЛЕКСНИЙ МЕТОД ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

План

1. Загальна характеристика симплексного методу

2. Математичне формулювання задачі

3. Алгоритм симплексного методу

4. Особливості алгоритму М-методу

Література:

1. Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Харитонова Л.А. Економіко-математичні методи в плануванні сільськогосподарського виробництва. – К.: Вища школа, 1989.

2. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. Под ред. проф. А.М.Гатаулина. – М.:Агропромиздат, 1990.

3. Курносов А.П. Вычислительная техника и программирование. –М.: Финанси ы статистика, 1991.

4. Кадюк З.С., Черняк В.Т., Іваницький І.Є., Сибаль Я.І. Використання методів лінійного програмування в економічних розрахунках. – Львів: Львів. держагроуніверситет, 2005.

5. Кадюк З.С., Черняк В.Т., СибальЯ.І., Іваницький І.Є. Економіко-математичне моделювання в АПК. - Львів: НВФ „Українські технології”, 2007.