2.1. Поняття про моделі і моделювання. Математична модель і моделювання.

Для розв”язання конкретних планово-економічних задач із застосуванням методів оптимального планування і ЕОМ необхідно мати математичний їх опис – математичну модель.

Моделювання базується на існуванні аналогії (подібності) між двома об”єктами або явищами, які часто мають якісно різну природу. В цьому випадку один із об”єктів розглядається як оригінал, а інший – як його модель, копія. Найбільш суттєвою подібністю між оригіналом і його моделлю є подібність їх поведінки при певних умовах. При вивченні методом аналогії безпосередньому дослідженню завжди піддається одна система, а висновок робиться для іншої. Тому система, яка безпосередньо досліджується, є відображенням або моделлю системи, що вивчається, тобто оригіналу.

Отже, модель – це той посередник, що його людина ставить між собою і досліджуваним об”єктом. Вона є представником самого об”єкта або його замінника. Через це модель повинна бути в чомусь подібна до досліджуваного об”єкта і мати щось з ним спільного.

Термін „модель” походить від латинського слова „modulus”, що означає міра. В загальному випадку під моделлю розуміють деякий зразок (наприклад, модель літака, корабля, трактора і т.д.), подібність якому-небудь предмету, яка змінена в маштабі (зменшена або збільшена).

До цього часу немає єдиного визначення, яке би розкривало поняття „модель” у сучасному розумінні цього слова. Це пояснюється насамперед тим, що у поняття „модель” часто вкладають різний зміст. Наприклад, у побуті говорять про модель взуття, одягу, в геометрії – про моделі геометричних тіл та ін.

У наукових дослідженнях сфера застосування моделей також досить широка й багатогранна. Моделі є в математиці і логіці, хімії і фізиці, астрономії і біології. Різноманітність моделей є однією з причин того, що не існує загального визначення поняття моделі. Іншою причиною є те, що метод моделювання, а отже, й моделі, які він використовує, досить складний і багатогранний і, головне, перебуває в постійному розвитку.

З філософської точки зору під моделлю необхідно розуміти таку подумки представлену або матеріально реалізовану систему, яка, відображаючи чи відтворюючи об”єкт дослідження, зможе замінити його так, що її вивчення дає нову інформацію про об”єкт.

Найбільш вдале і доступне для розуміння визначення моделі пропонує В.О.Штофф. За його визначенням, модель - це мисленно уявлювана або матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об”єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нам нову інформацію про цей об”єкт. Значить, модель представляє собою відображення будь-яким способом найбільш суттєвих характеристик, процесів і взаємозв”язків реальних систем.

Абсолютно адекватну реальній дійсності модель побудувати дуже важко, тому що моделлю неможливо залучити всі існуючі зв”язки; але в цьому і немає необхідності, поскільки для вивчення дійсності найчастіше достатньо і її дещо спрощеної конструкції.

Модель містить у собі найбільш характерні для задачі риси або параметри досліджуваного об”єкта. Вона абстрагується від неістотного, другорядного. Модель – це деяка ідеалізація дійсності, деяке її спрощення. Вона має чимось відрізнятися від досліджуваного об”єкта, бо інакше перестане бути моделлю і ототожниться з ним.

Тому всяка модель, яка використовується в наукових дослідженнях, повинна відповідати таким вимогам: однозначно представляти відповідний об”єкт дослідження, створений природою або людиною; бути допоміжним природним або штучним об”єктом, який замінює оригінал у процесі дослідження і дає про нього відповідну інформацію на даному етапі дослідження; мати ті властивості оригіналу, які властиві для даного дослідження.

Метод пізнання, який використовує наукові моделі, називається методом моделювання. Під моделюванням розуміють відтворення або імітацію поведінки реально існуючої системи на спеціально побудованій моделі. Це робиться для того, щоби за результатами дослідження на моделі можна було зробити висновки про реальні процеси, що відбуваються в дійсності.

Моделювання використовуюється як спосіб дослідження, вивчення складних систем і явищ. Дослідження системи на моделі має ряд переваг перед дослідженням її методом експеремента:

в моделі явище, об”єкт або процес можна представити в „чистому” виді, який не спотворюється сторонніми впливами і непотрібними деталями;

з моделлю є можливість проводити дослідження там, де його неможливо проводити через недоступність реального об”єкта, або його велику вартість;

модель дозволяє багато разів повторювати дослід аж до отримання всесторонньо обґрунтованих висновків, до пізнання суті явища;

моделювання дозволяє проводити експеремент з системою, міняючи її характеристики і тим самим досліджуючи її поведінку, що не завжди є можливим при безпосередньому вивченні реальних систем, зокрема в економіці;

вивчення процесу на моделях обходиться, як правило, значно дешевше і потребує значно менше затрат часу.

В якості моделей можуть використовуватись різні подібності систем: фізичні, геометричні, біологічні, математичні та ін.

В фізичних моделях відтворюється реальний об”єкт із збереженням геометричної подібності і фізичної природи. Такі моделі звичайно відрізняються від реальних об”єктів розмірами (моделі літаків, будинків, і т.д.). При дослідженні великих економічних систем часто використовуються геометричні моделі, які представляють собою карти розміщення виробництва, шляхів сполучення і т.д. Але це найбільш прості способи моделювання.

Для більш глибокого дослідження і вивчення складних систем використовується математичне моделювання, під яким необхідно розуміти опис чи представлення найбільш важливих причинних і функціональних взаємозв”язків і залежностей, які існують в реальній дійсності, в математичній формі.

Математична модель має іншу в порівнянні з реальним об”єктом природу і представляє собою рівняння або систему рівнянь і нерівностей, яка описує взаємозв”язки, що проходять в оригіналі. Математична модель є абстракцією даної реальної дійсності і виражає найбільш важливі її властивості.

Іншими словами, математичне моделювання – це моделювання, коли модель і оригінал мають різну фізичну природу, а явища або процеси, які характеризують їх, описуються рівняннями однакової форми і між змінними цих рівнянь існують однозначні співвідношення. Між математичною моделлю і оригіналом немає зовнішньої подібності, але модель відображає внутрішні закономірності того явища, яке моделюється.

Математичні моделі, які реалізовані на електронних обчислювальних машинах (ЕОМ), за короткий час виявляють поведінку систем при різних умовах без найменшого втручання в хід реального процесу, поскільки в машину (комп”ютер) закладається не реальний процес, а його копія, модель, яка представлена в математичному виді.

Останнім часом математичне моделювання розвивається досить інтенсивно і має надзвичайно широке практичне застосування, особливо в дослідженні економічних систем. Це зумовлено тим, що економічні системи характеризуються залежностями, які можна виразити як взаємозв”язок великої кількості змінних і які добре піддаються математичному формулюванню в виді рівнянь і нерівностей. Аналізуючи таким чином рівняння і нерівності, які описують кількісні взаємозв”язки даної системи, можна аналізувати і саму економічну систему. Отже, математичне моделювання економічних систем і процесів дає можливість проводити експерименти в економіці, не спираючись на досвід. А це значно підвищує рівень економічної науки і достовірність висновків. Іншими словами математичне моделювання в планово-економічній роботі відкрило можливість експериментувати.

Математичну модель економічного процесу чи явища називають економіко-математичною моделлю. Така модель – це концентрований вираз у математичній формі найістотніших властивостей, що характеризують дане явище.

Математичне моделювання відкрило широкі можливості по імітуванню самих різноманітних економічних систем і процесів. Створення аналогів реальних систем і процесів при допомозі економіко-математичних моделей значно полегшує проведення економічного аналізу і планово-економічних розрахунків; дає можливість вивчати економіку і організацію виробництва в таких умовах, в яких дуже трудно, а часто й неможливо взагалі здійснити яке-небудь вивчення традиційними методами економічних досліджень. Прикладом цього може бути дослідження кількісних взаємозв”язків між економічними процесами в процесі виробничої діяльності підприємствами, коли приходиться з ними мати справу в такому виді, в якому вони фактично здійснюються.

Складні економічні ситеми можна описати математично лише в тому випадку, коли добре вивчені і пізнані кількісні зв”язки між окремими факторами, їх вплив один на одного і на кінцеві результати виробництва. Модель повинна точно відображати реальні процеси і зв”язки економічної системи, а обмеження, які накладаються на неї зовнішніми умовами, повинні спиратися на достовірну інформацію. При моделюванні не слід намагатись описати всі багаточисельні зв”язки, які властиві системі, що моделюються. Це може привести до такого ускладнення і перевантаження моделі, що при її допомозі стане неможливим розв”язання ні однієї конкретної задачі. Моделювання передбачає абстрагування, нехтування несуттєвими рисами об”єкта чи системи. Однак слід бачити розумні границі такого абстрагування, поскільки можна опустити із моделі головний зміст задачі. Необхідно також мати на увазі, що економіко-математична модель представляє собою єдність кількісної і якісної характеристик економічних явищ. Тому мистецтво моделювання заключається якраз в тому, щоби глибоко вивчивши і зрозумівши якісну природу об”єкта, зуміти відобразити її в кількісній формі при допомозі спеціальних математичних символів в економіко-математичній моделі.

Отже, в основі моделі лежать і є обов”язковою умовою її розроблення знання змісту явища, досвід, кваліфікація працівника. Так, щоб побудувати економіко-математичну модель у плануванні сільського господарства, потрібно знати технологію, організацію і економіку сільськогосподарського виробництва; численні вимоги й умови, що впливають на розвиток виробництва в цілому і конкретного економічного процесу; специфіку прояву цих умов і закономірностей у різних сільськогосподарських підприємствах – об”єктах управління. Тільки в цьому випадку побудована економіко-математична модель в достатній мірі повно відображатиме реальні властивості економічного процесу, а розв”язування задач на базі такої моделі за допомогою методів математичного програмування дасть можливість отримати оптимальний варіант.

Вид і характер математичної моделі визначаються взаємозв”язками і взаємозалежностями економічних систем. Взаємозв”язки одних систем можна описати на основі систем лінійних рівнянь і нерівностей, других – на основі рівнянь і нерівностей більш високого порядку, третіх – на основі кореляційного аналізу, четвертих – з використанням теорії імовірностей і т.д. Така відмінність взаємозв”язків економічних систем і можливість їх описання в математичній формі привели до необхідності розробки ряду економіко-математичних моделей: економіко-статистичних, балансових, оптимізаційних.

Економіко-статистичні моделі представляють собою кореляційно-регресивні рівняння зв”язків залежного і декількох незалежних факторів, які визначають кількісне значення залежного фактора.

Балансові моделі відображають систему різного роду балансів по виробництву і розподілу продукції і записується звичайно в формі шахматних квадратних матриць. Вони використовуються для взаємоув”язки різних галузей народного господарства при аналізі і плануванні.

Оптимізаційні моделі базуються на математичному програмуванні, розділі математики, який зв”язаний з вивченням і розробкою методів розв”язання екстремальних задач, відшуком екстремальних значень функцій, тобто вибором оптимальних варіантів. Оптимізаційні моделі характеризуються системою математичних рівнянь або нерівностей, які підпорядковані цільовій функції, при розв”язанні якої визначається найкращий (оптимальний) розв”язок економічної задачі.