4. Розподільчий метод

Вирахувальну процедуру розв”язування транспортної задачі цим методом розглянемо на наступному прикладі.

Задача. В господарстві багаторічні і однорічні трави на сіно вирощуються на трьох полях. За попередніми розрахунками передбачається такий вихід сіна із кожного поля: з першого – 28 т, з другого – 32 т, з третього – 50 т.

Заготовлене сіно буде зберігатися в чотирьох сіносховищах, які знаходяться в різних місцях і можуть вмістити таку кількість сіна: перше – 20 т, друге – 35 т, третє – 32 т і четверте – 23 т.

Віддаль від полів до сіносховищ (км) наведена в таблиці 24.

Таблиця 24.- Віддаль від полів до сіносховищ, км

Поля	Сіносховища
	1	2	3	4
Перше	7	4	4	10
Друге	8	3	6	8
Третє	5	12	9	2

Необхідно скласти такий план завезень сіна із полів до сіносховищ, при якому загальна кількість тонно-кілометрів була б мінімальною.

Для розв”язання даної задачі розподільчим методом необхідно спочатку всю економічну інформацію розмістити в робочу таблицю(матрицю).

У правому верхньому кутку кожної клітки записують оцінки, якими в даному випадку є віддаль від полів до сіносховищ. Ці числа утворюють матрицю показників критерія оптимальності. В основній частині клітки записують значення відшукуваних змінних величин Xij – кількість сіна, яка перевозиться від i- го поля до j- го сіносховища.

Таблиця 25.- Робоча таблиця для розв”язування транспортної

задачі розподільчим методом

С іносховища Поля	1	2	3	4	Вихід сіна з полів , т
І	7	4	4	10	28
ІІ	8	3	6	8	32
ІІІ	5	12	9	2	50
Вмісткість сіносховищ, т	20	35	32	23	110

Опорний план можна скласти за правилом північно-західного кута, способом розподілу по клітках з найкращими оцінками, або методом апроксимації.

В даній задачі опорний (початковий ) план складемо за правилом північно-західного кута (таб.26)

В результаті знаходження початкового плану одержано такі значення змінних:

х₁₁= 20; х₁₂= 8; х₂₂= 22; х₂₃= 5; х₃₃= 27; х₃₄= 23.

Значення останніх змінних рівні нулю, тобто:

х₁₃= 0; х₁₄= 0; х₂₁= 0; х₂₄= 0; х₃₁= 0; х₃₂= 0.

Таблиця 26 – Опорний варіант плану

С іносховища Поля	1	2	3	4	Вихід сіна з полів, т
І	7 20	4 8	4	10	28
ІІ	8	3 27	6 5	8	32
ІІІ	5	12	9 27	2 23	50
Вмісткість сіносховищ, т	20	35	32	23	110

Загальна кількість тонно-кілометрів при такому розподілі буде становити 572.

Алгоритм розподільчого методу вимагає, щоб загальна кількість заповнених кліток дорівнювала m + n - 1. В нашій задачі ця умова дотримується.

Знайдений розв”язок є допустимим, поскільки задовольняє всі вихідні умови обмеження.

Дальше перевіряють план на оптимальність. Для перевірки опорного і наступних планів на оптимальність вираховують числові характеристики для всіх незаповнених кліток. З цією метою для кожної незаповненої клітки будують замкнутий цикл (многокутник), який повинен з”єднати незаповнену клітку з іншими заповненими клітками. Цикл може проходити через заповнені і незаповнені клітки, але повороти вершин обов”язково робляться в заповнених клітках під прямим кутом.

Після побудови замкнутого циклу в клітки з вершинами проставляються почергово знаки плюс і мінус, починаючи з вихідної клітки. Враховуючи ці знаки додають оцінки кліток, в яких знаходяться вершини многокутника. Одержана з додатнім або від”ємним знаком сума оцінок є числовою характеристикою вихідної клітки.

В даній задачі (табл.24) числовими характеристиками будуть:

K₂₁ – число +2

К₃₁ – число –4

К₃₂ – число +6

К₁₃ – число –3

К₁₄ – число +10

К₂₄ – число +9.

Якщо задача розв”язується на мінімум лінійної функції, то оптимальний розв”язок буде тоді, коли всі числові характеристики будуть додатніми. Наявність хоча б однієї від”ємної числової характеристики вказує на те, що план не оптимальний і його необхідно покращувати.

Для вибору напрямку покращення плану знаходять ключову клітку. Ключовою кліткою буде клітка, яка має найбільшу числову характеристику за абсолютною величиною із знаком мінус. В нашому випадку це клітка К₃₁. Для цієї клітки будуємо замкнутий цикл(многокутник). Перерозподіл проводиться так само, як і при розв”язуванні транспортної задачі методом потенціалів. Одержаний новий план завезень сіна із полів до сіносховищ наведений в таблиці 27.

Загальна кількість тонно-кілометрів при такому плані становить 4920, або на 800 менше в порівнянні з попереднім (опорним) варіантом планом.

Дальше вся вирахувальна процедура повторюється. Для того, щоб перевірити новий варіант плану на оптимальність (табл.27) знову для всіх незаповнених кліток вираховують числові характеристики.

Для K₁₁ – число +4

К₂₁ – число +6

К₃₂ – число +6

К₁₃ – число –3

К₁₄ – число +13

К₂₄ – число +9.

Таблиця 27 – Другий варіант плану

С іносховища Поля	1	2	3	4	Вихід сіна з полів, т
І	7	4 28	4	10	28
ІІ	8	3 7	6 25	8	32
ІІІ	5 20	12	9 7	2 23	50
Вмісткість сіносховищ, т	20	35	32	23	110

Даний варіант плану не є оптимальним, поскільки ознака оптимальності не дотримується для клітки К₁₃. Ця клітка буде ключовою. Поліпшення його за описаною вище методикою наведено в таблиці 27.

Таблиця 28 – Третій варіант плану

С іносховища Поля	1	2	3	4	Вихід сіна з полів, т
І	7	4 3	4 25	10	28
ІІ	8	3 32	6	8	32
ІІІ	5 20	12	9 7	2 23	50
Вмісткість сіносховищ, т	20	35	32	23	110

При такому варіанті плану загальна кількість тонно-кілометрів становить 4170, що на 750 менше в порівнянні з попереднім варіантом плану.

Знову перевіряємо цей план на оптимальність шляхом вирахування числових характеристик для всіх незаповнених кліток.

Для K₁₁ – число +7

К₂₁ – число +9

К₃₂ – число +3

К₂₃ – число +3

К₁₄ – число +13

К₂₄ – число +12.

Відсутність від”ємних числових характеристик свідчить про те, що одержаний план завезень сіна із полів до сіносховищ є оптимальним і тому загальна кількість тонно-кілометрів, яка становить 4170, є мінімальною.

Згідно оптимального плану доцільно із першого поля 3 т сіна завезти на друге сіносховище, а 25 т - в третє сіносховище; із другого поля всі 32 т сіна доцільно завезти в друге сіносховище, а із третього поля – 20 т – в перше сіносховище, 7 т в третє і 23 т в четверте сіносховище.

Примітка. При розв”язуванні транспортної задачі на максимум лінійної функції оптимальний план буде тільки тоді, коли всі числові характеристики будуть від”ємними. Коли є додатні числові характеристики – план не оптимальний. Ключовою кліткою буде клітка, яка має найбільшу числову характеристику із знаком “плюс”.

Моделювання виробничих систем в АПК