Вступна лекція

План

1. Необхідність удосконалення господарського механізму на базі використання економіко-математичного моделювання і ЕОМ.

2. Розвиток і застосування методу моделювання в Україні і за рубежем. Основні напрямки наукових досліджень з економіко-математичного моделювання виробничих систем в сільському господарстві.

3. Умови, які допускають застосування методів лінійного програмування.

4. Предмет, метод і завдання курсу. Структура і послідовність його вивчення.

Література:

1. Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Харитонова Л.А. Економіко-математичні методи в плануванні сільськогосподарського виробництва. – К.: Вища школа, 1989.

2. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. Под ред. проф. А.М.Гатаулина. – М.:Агропромиздат, 1990.

3. Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. – М.:Колос, 1978.

4. Курносов А.П. Вычислительная техника и программирование. –М.: Финанси ы статистика, 1991.

5. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. – М., 1986.

6. Кадюк З.С., Черняк В.Т., Іваницький І.Є., Сибаль Я.І. Використання методів лінійного програмування в економічних розрахунках. – Львів: Львів. держагроуніверситет, 2005.

7. Кадюк З.С., Черняк В.Т., СибальЯ.І., Іваницький І.Є. Економіко-математичне моделювання в АПК. - Львів: НВФ „Українські технології”, 2007.

Необхідність використання економіко-математичного моделювання і еом в удосконаленні планування і управління сільськогосподарським виробництвом

Відомо, що до досягнення однієї і тієїж виробничої мети при наявності певних ресурсів і відповідної нормативної інформації можна йти багатьма шляхами. А особливістю планово-економічних завдань, що розв’язуються в сільському господарстві, є їх багатоваріантність.

Наприклад, ті самі трактори можна використовувати на різних польових роботах, а ріллю – під посіви сільськогосподарських культур у різних пропорціях. Або інший приклад: знаємо, що у сільськогосподарському підприємстві в процесі виробничої діяльності використовуються земля, робоча сила, техніка, насіння, корми, добрива та інші засоби виробництва. В кожному із них можливі різні варіанти використання ресурсів і одержання продукції. Таких варіантів є велика кількість, з яких необхідно вміти вибрати при даних умовах найкращий, тобто оптимальний.

Завданням планування є обґрунтування вибору найкращого варіанта плану з усіх можливих, тобто прийняття певного рішення. Однак можливості людини допускають складання і економічну оцінку ефективності тільки декількох варіантів плану. При цьому існує протирічлива залежність: чим краще і відповідальніше складений план, чим більше об’єктів він охоплює, тим менше варіантів може бути розроблено і співставлень для вибору найкращого, поскільки обсяги вирахувальних робіт є надзвичайно великими. Тому на практиці найкращий з них звичайно вибирається на основі інтуїції спеціаліста, або в кращому випадку, за допомогою порівняння декількох планів. Але ні один економіст не складає декількох планів. Він складає один план і при цьому не може стверджувати, що цей план є дійсно найкращим. Тепер розробляються економіко-математичні методи, які дають можливість вибрати найкращі варіанти розв’язання планово-економічних завдань. І тому тільки економіст, озброєний спеціальними знаннями в галузі застосування економіко-математичних методів і використання ЕОМ, може розрахувати найбільш раціональний (оптимальний) план із множини можливих варіантів.

Наука, яка займається розробкою теорії методів обґрунтування вибору найкращих варіантів плану з багатьох можливих, дістала назву математичного програмування. Слово „програмування” означає вибір кращої програми виробництва, кращого плану. Тому програмування входить до процесу планування.

Поняття „найкращий” не є чітко визначене і потребує уточнення. Для цього треба сформулювати конкретну мету виробництва.

Мета може бути різна, залежно від умов виробництва і характеру розв’язуваних завдань. Так, у плануванні структури посівних площ мета полягає у плануванні в одержанні максимального обсягу валової продукції; у плануванні перевезення вантажів – у досягненні мінімальних транспортних затрат або мінімізації часу перевезення.

Мета обов’язково виражається кількісним показником (вартість валової продукції, сума затрат тощо). Цей показник називається критерієм оптимальності плану і задається математично у вигляді певної цільової функції (функціоналу). Отже, розв’язання планово-економічних завдань зводиться до визначення або максимального або мінімального значення цільової функції, тобто до математичної задачі. Замість слів „мінімальне” і „максимальне” користуються терміном, який об’єднує ці поняття – екстремальне значення цільової функції.

Отже, оптимальним варіантом плану називають той варіант, який забезпечує досягнення екстремального значення критерію оптимальності.

У плануванні доводиться мати справу з обмеженими ресурсами. Оптимальний план дає змогу якнайчастіше використати наявні ресурси виробництва. Тому математичне програмування часто називають наукою про найкращий розподіл обмежених ресурсів для досягнення поставленої мети.

Пошук оптимального плану економіко-математичними методами вимагає, щоб умови виробництва і критерій оптимальності були сформульовані у вигляді математичних співвідношень.

В залежності від того, в якому виді і в якій математичній формі представлені умови задачі, математичне програмування поділяється відповідно на лінійне, нелінійне, динамічне.

У практиці найбільшого поширення набули планово-економічні задачі, в яких умови виробництва і критерій оптимальності можуть бути подані у вигляді системи лінійних рівнянь і нерівностей. Лінійними називають рівняння і нерівності, до яких невідомі входять тільки у першому степені. Такі задачі вивчаються в теорії лінійного програмування.

Лінійне програмування – це розділ математичного програмування, який займається розробкою теорії і методів оптимізації екстремальних планово-економічних задач, в яких умови виробництва і критерій оптимальності виражено лінійними співвідношеннями.

Коротко про розвиток економіко-математичних методів.

Появу перших економіко-математичних моделей в їх сучасному розумінні відносять до кінця ХІХ і початку ХХ століття. Необхідні були десятиліття і нові, досить важливі відкриття в математиці і обчислювальній техніці, щоби економіко-математичні методи і моделі досягли сучасного рівня і широкого визнання.

Новим етапом розвитку математичних методів і їх впровадження в економіку і планування стало відкриття методів математичного, зокрема лінійного, програмування.

Першовідкривачем лінійного програмування був лауреат Нобелівської премії академік Л.В.Канторович. В кінці 40-х років він зайнявся питаннями планування роботи агрегатів фанерної фабрики і розв’язав математично декілька задач: про найкраще завантаження машин, про розкрій матеріалів з найменшими витратами, про розподіл вантажів за декількома видами транспорту. При цьому він розробив універсальний метод розв’язання таких задач, а також різні алгоритми їх розв’язання.

В 1939 р. була видана книга Л.В.Канторовича „Математичні методи організації і планування виробництва”, в якій на прикладі різних задач внутрізаводського планування були викладені основи лінійного програмування. Але значення цієї роботи було значно ширшим, ніж тільки вдале математичне вирішення виробничих задач. Справа в тому, що в ній вперше були точно сформульовані такі важливі і тепер широко прийняті економіко-математичні поняття, як „оптимальність плану”, вказані багато чисельні галузі економіки, де можуть застосовуватись математичні методи. Л.В.Канторович ввів в науку важливе поняття оптимальних, або як він їх назвав, об’єктивно обумовлених оцінок. Таким чином це була перша в світі робота з лінійного програмування.

Дещо пізніше були опубліковані статті професора В.В.Новожилова, в яких були викладені основи застосування математичних методів в плануванні народного господарства. Але із-за складності розрахунків і відсутності електронно-обчислювальних машин нові математичні методи неотримали в цей час широкого розповсюдження.

Створення ЕОМ в значній мірі сприяло розвитку математики, її широкому застосуванню в інших науках, в тому числі і в економіці. В кінці 1959 р. вийшов в світ перший, а в 1961 р. другий том наукових праць „Застосування математики в економічних дослідженнях” під редакцією академіка В.С.Немчинова, який створив велику наукову школу в цій галузі.

За кордоном, в основному в США, дослідження екстремальних задач почалося в кінці 40-х років. В цей час були сформульовані деякі задачі, зв’язані з визначенням екстремуму лінійної функції, на змінні яких були накладені лінійні обмеження. В 1941 р. Е.Хичкок здійснив постановку, але не повністю розв’язав задачу лінійного програмування стосовно до складання плану перевезень вантажів. В 1945 р. була сформульована і розв’язана Г.Стіглером задача про дієту. Але основоположником лінійного програмування в США вважається Дж. Данціг, який вперше здійснив постановку і розв’язав загальну задачу лінійного програмування, в якій був викладений розроблений Дж.Данцігом один з основних методів лінійного програмування – симплекс-метод. Після цього дослідження із застосування математичних методів почали проводитися в усіх країнах світу.

Розвиток наукових досліджень в галузі економіко-математичного моделювання сприяло використанню результатів дослідження в економічній практиці – в плануванні і управлінні виробництвом. Починається період поступового впровадження окремих економіко-математичних задач в практику.

За допомогою економіко-математичних методів можна розв’язувати велике коло планово-економічних, обліково-статистичних і управлінських завдань. Тому на даний час економіко-математичні методи і ЕОМ знаходять все більше застосування в плануванні виробництвом в усіх галузях народного господарства, в тому числі і в сільському господарстві.

Сільське господарство як одна із важливих галузей народного господарства має ряд специфічних особливостей, які сприяють успішному застосуванню економіко-математичних методів. До них відносяться слідуючі:

відносно невелика кількість продуктів, які виробляються;

порівняна однорідність сільськогосподарських підприємств;

обмежена кількість технологій, які використовуються в сільськогосподарському виробництві;

використання основних виробничих ресурсів сільського господарства (землі, праці, добрив і т.д.) для одержання різноманітної продукції, що тим самим збільшує кількість можливих варіантів виробництва;

впливи на результати виробництва великої кількості факторів, врахувати які в одному розрахунку традиційними методами неможливо.

Вказані особливості характеризують сільське господарство як галузь, де економіко-математичні методи в поєднанні з ЕОМ знаходять широке застосування.

Використання методів лінійного програмування у плануванні сільського господарства має істотні переваги над традиційними методами:

якщо у випадку планування звичайними методами, як правило, розробляється один варіант плану (рідко два-три), то у лінійному програмуванні беруть до уваги всі реально можливі варіанти плану і з них вибирають найкращий – оптимальний;

завдяки чітко розробленій схемі розрахунків, розв’язування задачі методами лінійного програмування легко автоматизується на електронних обчислювальних машинах, що забезпечує велику економію праці, а невеликі і середньої складності задачі досить легко розв’язуються вручну з використанням малих обчислювальних машин;

завдяки високому рівню автоматизації при розв’язуванні планово-економічних задач на ЕОМ можна врахувати одночасно велику кількість факторів і допоміжних умов виробництва, що набагато підвищує якість розроблюваних планів.

Щоб розкрити суть, логіку і схему побудови задачі лінійного програмування, почнемо вивчення матеріалу з розгляду спрощеного прикладу. Це дасть можливість внести основні визначення і терміни без складних обчислень.

Економічна постановка задачі. Розглянемо приклад. Припустимо, фермерське господарство займається вирощуванням тільки двох культур (зернових і картоплі), маючи такі ресурси: ріллі – 200 га, праці - 2000 людино-днів; можливий обсяг тракторних робіт – 1200 еталонних га. Мета виробництва – одержання максимального обсягу прибутку. Треба знайти оптимальну комбінацію посівних площ культур. У математичному формулюванні умов задачі користуватимемося нормативами затрат і виходу продукції прибутку для даного господарства, які наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Нормативи затрат і виходу прибутку в господарстві

Культури	Затрати на 1 га посіву		Прибуток з 1 га, грн.
	праці (людино-днів)	тракторних робіт, еталон. га
Зернові (х1) Картопля (х2)	5 25	4 12	100 150

З’ясуємо суть задачі. Критерієм оптимальності (показником оцінки якості плану) є максимум прибутку. Цього максимуму треба досягти в межах використання обмежених ресурсів ріллі, праці і механізованих робіт. Ці ресурси виступають як обмежувальні умови задачі, а показники, що їх наведено в табл. 1, є техніко-економічними коефіцієнтами (коефіцієнтами затрат і випуску продукції). Неважко побачити, що задача багатоваріантна, оскільки є багато допустимих варіантів комбінування посівних площ двох культур і не всі рівнозначні щодо величини критерію оптимальності.

Як же в цих умовах відшукати варіант, що забезпечує екстремальне ( у даному разі максимальне) значення цільової функції.

Перегляд усіх можливих варіантів комбінації класу неефективний через велику трудомісткість ( а при великій кількості культур, ресурсів і додаткових умов розрахунок усіх варіантів практично неможливий).

А чи не можна роз’язати задачу виходячи з деяких логічних міркувань? Так, на перший погляд здається, що всю площу треба зайняти тією культурою, яка забезпечить найбільший прибуток з 1 га ( у даному разі картоплею). Проте для вирощування картоплі на площі 200 га потрібно 200*25= 5000 людино-днів, що у два з половиною рази перевищує наявні ресурси праці. Необхідність одночасного врахування всіх ресурсів ще більше ускладнює задачу.

У теорії лінійного програмування розроблено досить ефективні знаходження цільової функції. Щоб скористатися цими методами, треба вміти математично сформулювати (описати) умови і обмеження задачі.

Математичне формулювання задачі лінійного програмування.

У нашому прикладі невідомі величини є посівні площі зернових і картоплі. Позначимо їх через х₁ і х₂ і назвемо змінними задачі. Критерій оптимальності відповідно до вимог лінійного програмування має бути також сформульований математично. У даному випадку загальна кількість прибутку визначається як сума добутків прибутку з 1 га на посівну площу:

100х₁ + 150х₂

Критерій оптимальності (цільову функцію, або функціонал задачі) позначимо через Z. У нашій задачі знаходимо максимум цільової функції, що записується так:

Zmax = 100х₁ + 150х₂

Сформулюємо тепер математично умови задачі. Максимум цільової функції має бути досягнутий при додержанні таких умов.

1. Загальна площа зернових і картоплі не повинна перевищувати площі ріллі, тобто 200 га:

х₁ +х₂ <= 200

2. Загальні затрати праці (людино-днях) не повинні бути більшими від наявних ресурсів:

5х₁ +25х₂ <= 2000

3. Загальний обсяг механізованих робіт (в еталонних га) не повинен перевищувати можливих ресурсів тракторного парку:

4х₁ + 12х₂ <= 1200

4. Площі не можуть бути від’ємними величинами:

X₁ >= 0 і x₂ >= 0

Отже, умови задачі виражаються у вигляді такої системи нерівностей:

х₁ +х₂ <= 200

5х₁ +25х₂ <= 2000

4х₁ + 12х₂ <= 1200

х₁ >= 0 і x₂ >= 0

Наведені нерівності називають обмеженнями екстремальної задачі лінійного програмування. Число обмежень у задачах може бути велике – від десятків до багатьох сотень.

Зауважимо, що до цільової функції і системи обмежень змінні х₁ та х₂ входять тільки у першому степені, тобто всі математичні співвідношення належать до лінійних, а приклад, що розглядається, є задачею лінійного програмування.

Формулюючи обмеження задачі, треба стежити, щоб не було суперечливих умов. Наприклад, якщо одночасно ввести умови: площа зернових – не менше як 150 га і картоплі - не менше як 100 га, то задача буде не розв’язаною, бо є тільки 200 га ріллі.