5. Схемы главных напряжений

Выделим в напряженном теле кубик со сколь угодно малыми гранями, перпендикулярными к главным направлениям. Грани кубика будут главными площадками. При уменьшении размеров-кубика он превратится в точку и напряжения на его гранях бу­дут напряжениями в точке.

Графическое представление о наличии и знаке глгвных нор­мальных напряжений в точке называют схемой напряженного состояния. Понятие о схемах главных напряжений в теории обра­ботки металлов давлением ввел С. И. Губкин.

По классификации С.И.Губкина можно указать 9 механических схем напряжений при ОМД (рис.): 29 схемы линейного напряженного состояния – схемы растяжения и сжатия (Л); 3 схемы плоского напряженного состояния (П) и 4 схемы объемного напряженного состояния (О)

Рис.9. Механические схемы напряжений при ОМД: а – линейная, б – плоская, в – объемная.

Схемы, имеющие напряжения одного знака (минус — сжатие или плюс — растяжение), называют одноименными, а разных знаков — разноименными. Одноименные схемы: две линейные, две плоские и две объемные; раз­ноименные схемы: одна плоская и две объемные.

Схемы главных напряжений можно разложить на две — схе­му шарового тензора и схему девиатора. Схем шарового тензора может быть только две — схема равномерного сжатия и схема равномерного растяжения (рис. 8 -10). Гидростатическое давление σ_ср как среднее арифметическое главных напряжений всегда меньше максимального и больше минимального главных напря­жений: σ₁ > σ_ср > σ₃

Поэтому составляющая девиатора в направлении оси / бу­дет положительная, а в направлении оси 3 отрицательная:

Составляющая девиатора по направлению оси 2 может быть больше и меньше нуля; в частном случае она может быть равна нулю, когда Следовательно, всего будет три схемы девиатора напряжения (рис. 10): две объемные и одна плоская.

Рис.11. Схемы девиатора напряжений

Если максимальная по абсолютной величине составляющая девиатора сжимающая, то схему девиатора называют девиаторной схемой сжатия (рис. 9, а), а если растягивающая — девиа-торной схемой растяжения (рис. 9, в).

Если одна из составляющих девиатора равна нулю, схему называют девиаторной схемой сдвига (рис. 9,6). В этом случае составляющие по двум остальным осям равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

6. Дифференциальное уравнение равновесия.

В теле, находящемся в напряженном состоянии, величина на­пряжений изменяется от точки к точке и является непрерывной функцией координат. Определим условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 10), не являющимся главными. На­пряженное состояние точки а с координатами х, у, z определяет­ся напряжениями, действующими на гранях abcd, adb'c' и abd'c', и соответствующим им тензором напряжений:

Напряженное состояние в точке а' определяется напряжени­ями, действующими на площадках . Эти напряжения отличаются от соответствующих напряжений в точ­ке а бесконечно малыми значениями. Интенсивность изменения напряжений при переходе от точки а к точке а' по какой-либо оси выражается частной производной этого напряжения по соответ­ствующей координате. Так, интенсивность изменения по х

Рис. 11. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда

После раскрытия скобок и сокращения на dxdydz получаем одно из уравнений равновесия. Проектируя силы на оси х, у и z, получаем дифференциальные уравнения равновесия, которые содержат 9 неизвестных функций.

Благодаря свойству взаимности касательных напряжений, число неизвестных функций сокращается до 6 и все же задача определения напряжений является статически неопределимой. Для решения задачи вводят дополнительные уравнения, которые получают из рассмотрения физических свойств деформируемых материалов, в которых установлены зависимости между напряжениями и деформациями.

Дифференциальные уравнения равновесия являются основой при определении компонентов тензора напряжений в рассматриваемой точке пластически деформируемого тела.