1.1. Закон Фурье — основной закон теплопроводности

Тепловое состояние среды описывается заданием значения температуры T(x,y,z,t) в каждой точке и в каждый момент времени, т.е. скалярным полем. Изотермические поверхности, (т.е. поверхности одинаковой температуры) этого поля являются поверхностями уровня данного скалярного поля.

Выделим в твердом теле элемент изотермической поверхности, проходящий через точку M(x,y,z) площадью Ds; выделим направление нормали к элементу Ds в точке M(x,y,z) (см. рис.4).

Рис.4.

Эксперимент показал, что теплота распространяется в твердом теле по нормали через изотермические поверхности. Таким образом можно представить тело (с точки зрения теплопроводности) состоящим из множества не пересекающихся оболочек, каждая из которых имеет одинаковую температуру, но от оболочки к оболочке температура меняется. Факт переноса теплоты характеризуется наличием не равного нулю вектора плотности теплового потока — модуль этого вектора равен количеству теплоты, проходящей через единицу площади изотермической поверхности за единицу времени.

Закон Фурье (в скалярной форме): количество теплоты Q, прошедшее через элемент поверхности σ за время t по направлению нормали (из нутрии наружу) пропорционально производной от температурной функции по направлению нормали, т.е.

, (2.1)

где T(x,y,z,t) — температура в точке M(x,y,z) в момент времени t;  — теплопроводность материала, [кал/(см сек град)] или [Вт/(м град)].

Закон Фурье можно записать в векторной форме, (вектор плотности теплового потока коллинеарен градиенту и противоположно направлен с ним, причем коэффициент пропорциональности зависит только от материала твердого тела)

. (2.2)

Замечание: знак «–» в законе Фурье показывает, что теплота распространяется от более теплых частей к более холодным, т.е. направление роста температуры (gradT) и направление теплового потока взаимно противоположны.

Располагая законом Фурье в дифференциальной форме (2.1), можно найти количество теплоты Q, проходящее через произвольную поверхность S за любой промежуток времени от t₁ до t₂

.

1.2. Закон Нернста — основной закон диффузии

Этот закон описывает процесс диффузии вещества в твердом теле. Он полностью аналогичен закону Фурье. Оба они описывают явления переноса, только закон Фурье описывает перенос теплоты (энергии), а закон Нернста — перенос вещества (массы).

Состояние диффундирующего вещества в некоторой среде описывается заданием в каждой точке и в каждый момент времени концентрации C этого вещества, т.е. функцией C(x,y,z,t). Эта функция образует скалярное поле концентрации. Количество вещества Dm, переносимого через малую площадку за малый промежуток времени, согласно закону Нернста равно

, (2.3)

где коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии, его размерность [D] = [кг м²/сек]. Знак «–» в формуле (2.3) поставлен, чтобы подчеркнуть, что вещество переносится из мест с высокой концентрацией в места с более низкой концентрацией. Количество переносимого вещества Dm в формуле (2.3) может иметь разный знак.

§2. Вывод уравнения теплопроводности для тонкого стержня, теплоизолированного по боковой поверхности

Рассмотрим достаточно тонкий стержень (например, длинный карандаш). Пусть длина стержня равна l, а диаметр его поперечного сечения значительно меньше его длины. Расположим стержень на оси x так, чтобы его левый конец находился вначале координат (x=0), тогда правый конец будет находится в точке x = l. Стержень предполагается теплоизолированным по боковой поверхности, то есть перенос тепла возможен только через торцы x = 0 и x = l. При нагреве стержня с его концов в нем возникнет разность температур, то есть пойдет процесс теплопроводности. Так как толщина стержня много меньше его длины, то при этом в каждом поперечном сечении, очевидно, температура будет одна и та же, а меняться будет лишь от точки к точке по длине стержня (см. рис.5). Другими словами, изотермическими поверхностями будут сечения стержня плоскостями, перпендикулярными оси x. Таким образом, температурная функция будет иметь вид T(x,t) – это и есть основная физическая величина, подлежащая изучению.

Рис.5.

Выделим в стержне элементарный объем от x до x+x с площадью поперечного сечения S (V = Sx) и составим уравнение теплового баланса:

1) с помощью (2.1) сосчитаем количество тепла, прошедшее в V через сечение в точке x (т.е. в направлении нормали к поверхности уровня в точке x, совпадающим с направлением оси X, поэтому ):

;

2) найдем количество теплоты, прошедшее в V через сечение x+Dx (т.е. в направлении нормали к поверхности уровня в точке x+Dx, совпадающим с направлением оси X, поэтому ):

.

В элементарном объеме осталось количество тепла: