§3. Тригонометрические ряды Фурье

Рассмотрим систему функций на отрезке [–l,l]. В §1 было показано, что это ортогональная система функций, и были найдены нормы этих функции. Пусть некоторая функция f(x) раскладывается в ряд Фурье по этой системе функций на отрезке [–l,l] (будем обозначать сумму этого ряда S(x)). По исторической традиции коэффициенты перед sin и cos принято обозначать разными буквами и записывать этот ряд в виде

. (1.8)

Определение. Ряд (1.8) называется тригонометрическим рядом Фурье для функции f(x) на отрезке [–l,l] .

Из общей формулы (1.6) для коэффициентов ряда (1.5) имеем

n = 1,2,…, (1.9)

, n = 1,2,… (1.10)

Упражнение 1. Проверить формулы (1.9)–(1.10).

Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она имеет на нем конечное число точек разрыва I-го рода.

Теорема Дирихле. Если функция f(x) ограничена на отрезке [–l,l] и непрерывна или кусочно-непрерывна на этом отрезке, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (1.8) на этом отрезке; при этом ряд Фурье сходится для всех x[–l,l], причем его сумма S(x) равна:

1) функции f(x) во всех точках, где f(x) непрерывна, т.е. S(x) = f(x) во всех точках непрерывности функции f(x);

2) среднему арифметическому односторонних пределов функции f(x) в точках разрыва первого рода:

S(x₀)= (f(x₀– 0) + f(x₀+ 0)),

если x₀ — точка разрыва;

3) в граничных точках (x = ±l) — среднему арифметическому значению правого и левого пределов функции f(x) на концах отрезка [–l,l]

S(–l) = S(+l) = (f(l – 0) + f(–l + 0)).

Замечание. Сумму тригонометрического ряда Фурье можно считать периодической функцией с периодом 2l, определенной на всей числовой оси. Если функция f(x) не является периодической с периодом 2l, то она совпадает с суммой своего тригонометрического ряда Фурье во всех точках ее непрерывности только на отрезке [–l,l].

§4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f(x) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [–l,l] и при этом обладает некоторой симметрией, например, f(x) – четная функция, т.е. f(x) = f(–x), тогда формулы (1.9), (1.10) упрощаются

(1.13)

Последний интеграл равен нулю, т.к. интегрируется нечетная функция (произведение четной функции на нечетную) в симметричных пределах. Следовательно, ряд Фурье для четной функции будет иметь вид

. (1.14)

Говорят, что четная на симметричном относительно нуля отрезке функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

Таким же способом можно показать, что для нечетной функции f(x) ряд Фурье будет иметь вид

. (1.15)

Вывод. Четные функции раскладываются в ряд Фурье по косинусам, а нечетные функции раскладываются в ряд Фурье по синусам на симметричном (относительно нуля) интервале.

Упражнение 1. Получить формулы (1.15) для нечетной функции.

§5. Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0,l]

Рассмотрим функцию f(x), определенную на отрезке [0,l]. Продолжим эту функцию на отрезок [–l,0] (это означает, что надо взять некую другую функцию, которая определена на отрезке [–l,l] и совпадает с первоначальной функцией f(x) на отрезке [0,l]. Продолжить функцию f(x) можно разными способами. Результирующую функцию, определенную на отрезке [–l,l], можно разложить в ряд Фурье со своими коэффициентами Фурье. Значение этих коэффициентов определяется через интеграл по отрезку [–l,l] от результирующей функции. Заметьте, что эти интегралы зависят от того, как именно мы продолжили функцию f(x) на отрезок [–l,0].

Для каждой конкретной результирующей функции будет свой ряд Фурье, но каждый такой ряд Фурье на отрезке [0,l] будет сходится к первоначальной функции f(x) в точках ее непрерывности. Таким образом, функцию, заданную на отрезке [0,l] можно разложить в ряд Фурье бесконечным множеством способов, все зависит от того, как конкретно будет продолжена первоначальная функция f(x) на отрезке [–l,0].

Пример 1. Продолжим f(x), первоначально определенную на отрезке [0,l], четным образом на отрезок [–l,0]. В результате получим новую функцию

(1.16)

т.е. f₁(x) = f₁(–x) — четная функция, определенная на отрезке

[–l,l], она раскладывается в ряд по косинусам и, согласно (1.13),

Но по формуле (1.16) на [0,l] функция f₁(x) совпадает с f(x), т.о.

(1.17)

(1.18)

Пример 2. Продолжим f(x) с [0,l] на [–l,0] нечетным образом. В результате получим функцию

.

Это нечетная функция, она разлагается в ряд Фурье на отрезке [–l,l] по синусам. Функция f₂(x) на [0,l] совпадает с f(x), поэтому, согласно (1.14),

(1.19)

Из этих примеров следует, что функцию, заданную на [0,l], можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам и эти разложения определяются по формулам (1.17)–(1.19).