П02 Вычисление определителей квадратных матриц

1-го, 2-го и 3-го порядков.

1.А₁=(а₁₁)

det A₁=a₁₁

2. A₂=

det A₂=

3.А₃=

det A₃=

-

Правило выбора знака.

1,2,3

2,3,1

3,1,2

3,2,1

2,1.3

1,3.2

1

3

2

+0

+

+

-

-

-

*

При вычислении определителей третьего порядка можно использовать следующие правила:

Правило треугольника (Саррюса)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

*

*

*

-

Правило дописывания параллельного ряда.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

+

1

2

3

1

2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

-

П⁰3. Вычисление определителей треугольных и диагональных матриц любого порядка.

1. Пусть имеем треугольную матрицу порядка «n».

А= верхняя треугольная матрица;

 нижняя треугольная матрица.

Тогда

det A=a₁₁*a₂₂*…*a_nn

2. Пусть имеем диагональную матрицу порядка «n».

=diag (a_11;a_22;…a_ii; a_nn); a_ij=0 если i≠j.

diag (a_11;a_22;…a_ii; a_nn)= a₁₁*a₂₂*…*a_nn

П⁰4. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица порядка «n» А_n.

Рассмотрим определитель этой матрицы:

det A=A det(A)≠0

О пределение :

Минором элемента называется определитель порядка «n-1», который получается из данного определителя удалением строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .

Обозначение: М_ij

Пример: ∆= M₃₂=

О пределение:

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком по формуле: (-1)ⁿ.

А_ij=(-1)ⁿM_ij

В нашем примере: А₃₂=(-1)³⁺²М₃₂=-

П⁰5. Свойства определителей.

Свойство 1.

При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

det A =det (A^T)

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

det A= =

=

- *

det (A^T)= =

=

- * .

З амечание:

Из этого свойства следует, что все свойства определителей, относящиеся к строкам, справедливы и для столбцов.

В дальнейшем не будем различать строки и столбцы, и именовать их рядами.

Свойство 2.

Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆= =

=

- * .

∆₁= =

=

- * ).

Свойство 3.

Если в определителе два параллельных ряда равны, то определитель равен 0.

Доказательство:

Поменяем в данном определителе ∆ местами два равных ряда и получим определитель ∆₁.

Тогда по свойству 2 знак поменяется, но сам определитель не изменится.

∆=∆₁=0

Свойство 4.

Рекуррентная формула для вычисления определителя любого порядка.

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы А равен произведению элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

det A=a_i1*A_i1+a_i2*A_i2+…+a_in*A_in

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆= =

а₁₁*А₁₁+а₁₂*А₁₂+а₁₃*А₁₃=а₁₁ =

=a₁₁(a₂₂*a₃₃-a₂₃*a₃₂)-a₁₂*(a₂₁*a₃₃-a₂₃*a₃₁)+a₁₃(a₂₁*a₃₂-a₂₂*a₃₁)=

(раскроем скобки и сгруппируем по знакам)

=

- * .

(Получили исходную формулу для вычисления определителя третьего порядка).

Свойство 5.

Сумма произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения параллельного ряда равны 0.

(Свойство аннулирования)

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

а ₁₁*А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃*А₂₃=-а_{11 +} =

-a_11*a₁₂*a₃₃+a₁₁*a₁₃*a₃₂+a₁₂*a₁₁*a₃₃-a₁₂*a₁₃*a₃₁-a₁₃*a₁₁*a₃₂+a₁₃*a₁₂*a₃₁ =0

Свойство 6.

Если в определителе элементы какого-либо ряда равны 0, то определитель равен 0.

Действительно, разложим по элементам нулевого ряда определитель по свойству 4 и получим 0.

Свойство 7.

Определитель, в котором все элементы одного ряда являются суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, например:

Это свойство легко проверить, если разложить определитель по соответствующему ряду по свойству 4, а в данном случае по первой строке.

Свойство 8.

Общий множитель какого-либо ряда можно выносить за знак определителя.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

=/разложим по второму столбцу/ =

𝛍а₁₂*А₁₂+𝛍а₂₂*А₂₂+𝛍а₃₂*А₃₂=𝛍*(а₁₂*А₁₂+а₂₂*А₂₂+а₃₂*А₃₂)=

=𝛍 .

Свойство 9.

Определитель не изменится при элементарных преобразованиях над его рядами, т.е. если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

∆₁= =/используем свойства

7, 8, 4,5/=∆+𝛍*0=∆.

Примечание:

С помощью этого свойства можно привести определитель к треугольному виду, а, следовательно, вычислять определители любого порядка.

Пример:

= = =27

Свойство 10.

Если одна из строк (столбцов) получена как линейная комбинация других строк (столбцов), то определитель равен 0.

Доказательство проведём для определителя третьего порядка.

∆=

Пусть S₁=(a₁₁ a₁₂ a₁₃)

S₂=(a₂₁ a₂₂ a₂₃)

S₃=(a₃₁ a₃₂ a₃₃)

Рассмотрим определитель :

∆₁= = =0+0=0.

Свойство 11.

det (A*B)=det A*det B.

Пример

Вычислить определитель различными способами.

∆=

1 способ( правило треугольника)

∆=2*3*1+(-1)*(-2)*4+0-(0+(-1)*1*1+2*(-2)*5)=35

2 способ (дописывание столбцов)

∆ = =

=2*3*1+(-1)*(-2)*4+0-(0+(-1)*1*1+2*(-2)*5)=35

3способ (разложение по первой строке)

∆= =2* =2*(3+10)+(1+8)=35

Лекция 3.