Перевод чисел из одной системы счисления в другую методом подбора (взвешивания)

Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

В общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁ в систему счисления с основанием q₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_j нового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием q₂. Решить эту задачу можно подбором коэффициентов b_j. Вначале следует определить максимальную степень нового основания q₂, которая входит в исходное число, а затем проверяют вхождение в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. При этом все действия должны выполняться по правилам исходной системы счисления.

Пример.

Перевести десятичное число А₁₀ = 96 в троичную систему счисления.

Решение.

.

.

Для реализации машинных алгоритмов перевода разработаны также другие методы.

Перевод целых чисел делением на основание новой системы счисления

Целое число в системе счисления с основанием записывается в виде

Для определения коэффициента разделим многочлен на _:

Таким образом, младший разряд равен остатку от деления. Следующий значащий разряд получается делением частного на и т. д., пока очередное частное не станет равным нулю.

Пример.

Перевести десятичное число A = 98 в двоичную систему счисления.

Решение.

Делим исходное число 98 на 2, затем полученное частное делим на 2 и т. д.:

A = 98₁₀ = 1100010₂ .

Пример.

Перевести двоичное число А₂ = 1101001 в десятичную систему счисления. Основание изображается в двоичной системе счисления комбинацией 1010.

Решение.

Делим исходное число 1101001 на 1010, затем полученное частное делим на 1010 и т.д.:

A = 1101001₂ = 105₁₀.

Перевод правильных дробей умножением на основание новой системы

Пусть исходное число в системе счисления с основанием q₁ имеет вид:

.

В новой системе счисления с основанием q₂ это число будет выглядеть:

.

Если правую часть умножить на , то получится новая неправильная дробь, целая часть которой равна . Умножим оставшуюся дробную часть на и снова получим неправильную дробь, в целой части которой будет значение и т.д., пока не будут найдены все цифры числа в новой системе счисления. При этом все действия должны производиться по правилам исходной системы счисления.

Следует иметь в виду, что процесс преобразования дроби в новую систему счисления может быть бесконечным, т.к. не всегда можно представить дробь по основанию конечным набором цифр. В этом случае преобразование прекращается при достижении требуемой точности. Если требуемая точность перевода равна , то последовательность умножений дроби на основание повторяется раз.

Пример.

Перевести десятичную дробь 0,7689 в двоичную систему счисления с точностью 2^-6.

Решение.

Умножаем исходное число и дробную часть каждого получающегося произведения на 2 шесть раз:

Числу А₁₀ =0,7689 соответствует число А₂=0,110001 с точностью 2^-6.

Пример.

Перевести двоичную дробь А₂=0,1101 в десятичную систему счисления.

Решение.

q₂=1010₂ . Умножаем исходное число 0,1101 и дробную часть каждого получающегося произведения на 1010:

После четырех умножений дробная часть произведения стала равняться нулю, т.е. перевод исходного числа выполнился без погрешности. В результате числу А₂=0,1101 соответствует число А₁₀=0,8125.

Для неправильной дроби, т.е. дроби, имеющей как целую, так и дробную части, перевод из одной системы счисления в другую осуществляют отдельно для целой и дробной частей.