Глава 10. Функциональные устройства на операционных усилителях Рис. 10.13. Схема неинвертирующего интегратора Операторная передаточная функция этой цепи, определяемая

как отношение изображений по Лапласу выходного и входного

напряжений, представляет собой соотношение:

 1

+ sC 1 + R

 ( − R)

т.е. с точностью до знака совпадает с передаточной функцией

интегратора (10.2). Роль резистора с отрицательным сопротивле-

нием выполняет ПОС (рис. 10.13,б). С учетом коэффициента пе-

редачи неинвертирующего усилителя для этой схемы имеем:

W (S ) =

2 .

sRC

W (s) =

U 2 (s)

=

U 1 (s)

1

=

1 ,

sRC

§4. Фильтры нижних частот

В электрических, радиотехнических и телемеханических ус-

тановках часто решается задача: из совокупного сигнала, зани-

мающего широкую полосу частот, выделить один или несколько

составляющих сигналов с более узкой полосой. Сигналы задан-

ной полосы выделяют при помощи частотных электрических

фильтров.

К частотным электрическим фильтрам различной аппарату-

ры предъявляются разные, порой противоречивые требования. В

одной области частот, которая называется полосой пропуска-

– 205 –

Л.В. Кропочева. «Усилительные устройства»

ния, сигналы не должны ослабляться, а в другой, называемой

полосой задерживания, ослабление сигналов не должно быть

меньше определенного значения. Фильтр считают идеальным,

если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигналов и

фазо-частотная характеристика линейна (нет искажения формы

сигналов), а вне полосы пропускания сигналы на выходе фильтра

отсутствуют.

В зависимости от диапазона частот, относящихся к полосе

пропускания, различают низкочастотные, высокочастотные,

полосовые, полосно-подавляющие, избирательные (селектив-

ные) и заграждающие (режекторные) фильтры. Свойства линей-

ных фильтров могут быть описаны передаточной функцией, кото-

рая равна отношению изображений по Лапласу выходного и вход-

ного сигналов фильтра.

Схема простейшего фильтра нижних частот приведена на

рис. 10.14. Передаточная функция этого фильтра определяется

выражением: W ( s ) = 1 (1 + sRC ) .

Рис.10.14. Простейший фильтр нижних частот первого порядка

Заменив s на jω , получим частотную характеристику филь-

тра. Для реализации общего подхода целесообразно нормировать

комплексную переменную s . Положим

S = s / ωc ,

где ω c – круговая частота среза фильтра. В частотной об-

ласти этому соответствует

jΩ = j (ω / ω c ) .

Частота среза ω c фильтра на рис. 10.14 равна 1 RC . Отсю-

да получим S = sRC и

(10.10)W ( s) = 1 /

(1 + S ).

Используя передаточную функцию для оценки зависимости

амплитуды выходного сигнала от частоты, запишем

– 206 –

Глава 10. Функциональные устройства на операционных усилителях 2

W ( jΩ ) = 1 1 + Ω 2 .

При Ω〉〉1 , т.е. для случая, когда частота входного сигнала

ω〉〉 ω c , W ( jΩ ) = 1 Ω . Это соответствует снижению коэффициен-

та передачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более быстрое уменьшение коэф-

фициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот

последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид:

(

)

W (S ) =

где α 1 , α 2 , ! , α n – действительные положительные коэффициен-

ты. Из этой формулы следует, что W ( jΩ ) ~ 1 Ω n 〉〉1 . Полюса пе-

редаточной функции (10.11) вещественные отрицательные. Таким

свойством обладают пассивные RC -фильтры n -го порядка. Со-

единив последовательно фильтры с одинаковой частотой среза,

получим:

α

1 = α 2 = ! = α n = n 2 − 1 .

Этот случай соответствует критическому затуханию.

Передаточная функция фильтра нижних частот (ФНЧ) в об-

щем виде может быть записана как

(1 + α 1 S )(1 + α 2 S )! (1 + α n S )

1

,

(10.11)

1 + c

1 S + c 2 S + ! + c n S

где c1 , c 2 , ! , c n – положительные действительные коэффициен-

ты, K 0 – коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте. По-

рядок фильтра определяется максимальной степенью перемен-

ной S . Для реализации фильтра необходимо разложить полином

знаменателя на множители. Если среди нулей полинома есть ком-

плексные, то рассмотренное ранее представление полинома (10.11)

не может быть использовано. В этом случае следует записать

его в виде произведения квадратных трехчленов:

n

W (S ) =

K0

2

,

(10.12)

W (S ) =

∏ (1 + a i S + bi S

i

K0

2

)

,

(10.13)

– 207 –

Л.В. Кропочева. «Усилительные устройства»

где a i и bi – положительные действительные коэффициенты. Для

полиномов нечетных порядков коэффициент b1 равен нулю. Реа-

лизация комплексных нулей полинома на пассивных RC -цепях

невозможна. Применение индуктивных катушек в низкочастот-

ной области нежелательно из-за больших габаритов и сложности

изготовления катушек, а также из-за появления паразитных ин-

дуктивных связей. Схемы с операционными усилителями позво-

ляют обеспечить комплексные нули полиному без применения

индуктивных катушек. Такие схемы называют активными филь-

трами. Рассмотрим различные способы задания характеристик

ФНЧ. Широкое применение нашли фильтры Бесселя, Баттервор-

та и Чебышева, отличающиеся крутизной наклона амплитудно-

частотной характеристики (АЧХ) в начале полосы задерживания

и колебательностью переходного процесса при ступенчатом воз-

действии. Амплитудно-частотные характеристики этих ФНЧ чет-

вертого порядка приведены на рис. 10.15.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттервор-

та имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спа-

дает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильт-

ра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный харак-

тер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебыше-

ва спадает более круто за частотой среза. В полосе пропускания

она, однако, не монотонна, а имеет волнообразный характер с по-

стоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более рез-

кому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой

среза соответствует бoльшая неравномерность в полосе пропус-

кания. Колебания переходного процесса при ступенчатом вход-

ном воздействии сильнее, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характе-

ристикой. Причиной этого является пропорциональность фазово-

го сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала.

При равном порядке спад амплитудно-частотной характеристики

фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с филь-

трами Чебышева и Баттерворта.

Тот или иной вид фильтра при заданном его порядке определяет-

ся коэффициентами полинома передаточной функции (10.13) фильтра.

– 208 –