6.Приклади практичного використання маі

Тут на різних прикладах буде показана методологія практичного використання МАІ.

6.1Задача про розподіл енергетичних ресурсів

Продовжимо рішення задачі, опис якої даний в розділі 3, а ієрархічна модель приведена на Рис. 3 .2.

Побудуємо матрицю попарних порівнянь сил Е, С і Б, що забезпечують досягнення загальної мети Бл. Вважатимемо, що в результаті експертних оцінок одержаний такий результат

Бл	Е	С	Б
Э	1	5	3
С	1/5	1	3/5
Б	1/3	5/3	1

Знайдемо тепер власний вектор і власне значення  для одержаної матриці

.

З цією метою використовуємо наближені обчислення по першому алгоритму.

Крок 1: складемо елементи рядків і запишемо результат у вигляді вектора-стовпця:

.

Крок 2: підсумуємо всі елементи вектора-стовпця:

.

Крок 3: розділимо на одержану суму всі елементи вектора-стовпця:

= .

Розрахунок вектора пріоритетів по другому алгоритму здійснюється таким чином.

Крок 1: складаємо елементи кожного стовпця початкової матриці і записуємо одержані результати в стовпець:

Крок 2: замінюємо кожен елемент стовпця на зворотний йому:

Крок 3: складаємо елементи стовпця із зворотних величин:

15/23 + 3/23 + 5/23 = 1

Крок 4: ділимо кожний з елементів зворотного стовпця на одержану суму:

Ми одержали вектор, аналогічний вектору, розрахованому за першим алгоритмом.

Знайдемо вектор за третім алгоритмом:

Крок 1: підсумовуємо елементи кожного стовпця:

Крок 2: ділимо елементи кожного стовпця матриці А на одержані суми:

Крок 3: складаємо елементи кожного рядка одержаної вище матриці:

Крок 4: записуємо кожну суму у відповідний рядок вектора стовпця:

Крок 5: ділимо кожний з елементів останнього стовпця на порядок матриці:

Проведемо розрахунок вектора пріоритетів за четвертим алгоритмом:

Крок 1: перемножуємо елементи кожного рядка і записуємо одержані результати в стовпець:

Крок 2: розраховуємо корінь n-ой ступеня (в даному випадку n=3 згідно числу перемножених елементів) з кожного елементу одержаного стовпця:

Крок 3: складаємо елементи одержаного стовпця:

2,466 + 0,493 + 0,822 = 3,781

Крок 4: ділимо на одержану суму всі елементи стовпця.

Таким чином, всі чотири алгоритми дають однакове значення (з розбіжностями в тисячних долях) вектора пріоритету (корисності).

Одержаний вектор пріоритетів свідчить про те, що добробут країни в цілому може залежати на 65% від рівня розвитку економіки (Е), на 13% від стану навколишнього середовища (С) і на 22% від стану національної безпеки (Б) (див. Рис. 6 .3).

Рис. 6.3 – Распределение приоритетов в иерархии

Визначимо тепер ступінь узгодження даного результату, для чого знайдемо максимальне власне значення λ_max матриці А. З цією метою матрицю А перемножимо з вектором-стовпцем , а саме:

А =

=

=3 .

Так, λ_max = n = 3. Індекс узгодженості в цьому випадку рівний

ИУ= .

По табл. 5.1 знаходимо, що при n = 3 математичне очікування індексу узгодженості рівно М(ІУ)= 0,58. Відношення узгодженості в даному випадку дорівнює

ВУ = ІУ/М(ИУ) = 0/0,58 = 0.

Одержаний результат свідчить про хорошу узгодженість початкової матриці попарних порівнянь сил Е, С і Б, що забезпечують досягнення загальної мети Бл.

Досліджуємо тепер вплив елементів, що становлять третій ієрархічний рівень, на елементи другого рівня. Дії, аналогічні описаним вище, приводять до наступних результатів:

Е	ПС	ТР	ПР
ПС	1	3	5
ТР	1/3	1	2
ПР	1/5	1/2	1

; ; ІУ =0; ВУ = 0;

С	ПС	ТР	ПР
ПС	1	2	7
ТР	1/2	1	5
ПР	1/7	1/5	1

; ; ІУ = 0,01; ВУ = 0,017  0,1;

Б	ПС	ТР	ПР
ПС	1	2	3
ТР	1/2	1	2
ПР	1/3	1/2	1

; ; ІУ = 0,01; ВУ = 0,017  0,1.

Оцінимо вплив елементів самого нижчого ієрархічного рівня на самий вищий. З цією метою з останніх трьох стовпців складемо наступну матрицю:

В .

Елементи цієї матриці відображені на Рис. 6 .3 і описують вплив другого третього рівня ієрархії на другий. Щоб досліджувати вплив елементів третього рівня, що представляють споживачів енергоресурсів, на елемент першого рівня – мета, матрицю В перемножимо з вектором стовпцем :

В .

Одержаний результат свідчить про те, що добробут країни приблизно на 62% залежить від результатів діяльності населення (побутового споживача енергоресурсів), на 26% - від успішної роботи комунікативних засобів (транспорту) і на 12% - промисловості. Отже, у вказаних пропорціях необхідно розподіляти і енергоресури: ПС - 62%, ТР - 26% і ПР - 12%. Такі пріоритети повинні орієнтувати і транспорт, і промисловість на використання енергозберігаючих технологій.