5.Матриці
Введемо деякі поняття. Матриця - це масив чисел у вигляді прямокутної таблиці, наприклад
.
Горизонтальна послідовність чисел в матриці називається рядком, а вертикальна - стовпцем. Матриця, що складається тільки з одного рядка або з одного стовпця називається вектором, а з однаковим числом рядків і стовпців - квадратною (число рядків або стовпців такої матриці визначають її порядок). У загальному вигляді матриця, що містить m рядків і n стовпців, може бути описана так:
, (
5.0)
або
,
( i
= 1, 2, … , n;
j =
1, 2, … , m
). ( 5.0)
Треба
відзначити, що
з квадратною матрицею асоціюються її
власні вектори
і відповідні власні значення ,
які задовольняють наступній матричній
рівності
[…]
. (
5.0)
Розглянемо процедуру знаходження і на прикладах, в яких матриця 2-го порядку перемножується з вектором-стовпцем (відповідно до відомого правила "рядок на стовпець"):
1)
,
2)
.
У
першому з розглянутих прикладів ні
власний вектор, ні власне значення для
заданої матриці
не
визначені. У другому ж показано, що
и
.
Покажемо тепер, як дане завдання може бути вирішене в загальному вигляді.
Вважатимемо,
що для матриці
визначені
власний вектор
і
власне значення
.
Тоді
повинне задовольнятися рівняння
( 5.3),
тобто
.
Записаному матричному рівнянню можна поставити у відповідність наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
або
(
5.0)
Кожне
з рівнянь системи (
5.4)
описує пряму
лінію, що проходить через початок
координат в площині
.
Ці рівняння
описуватимуть одну і ту ж пряму, якщо
.
Дану умову можна трансформувати в так зване характеристичне рівняння вигляду
. (
5.0)
Ясно, що квадратне рівняння ( 5.5) має не більше двох коренів.
Приклад. Використовуючи квадратне рівняння ( 5.5) знайдемо власні числа для матриці . Одержуємо
или
.
Обчислення
з використанням
дискримінанту
дають:
;
Матриці,
що виходять в процесі використання МАІ,
відноситься до класу позитивних
зворотньо-симетричних
матриць. У таких матриць для будь-яких
i
та k
виконується
співвідношення
.
З
цього, зокрема, витікає, що
.
Матриця А називається узгодженою, якщо для будь-яких i, k та l має місце рівність
.
Для зворотньо-симетричних матриць справедливо наступне твердження.
Теорема
(приведена
без доказу).
Позитивна
звороньо-симетрична матриця є узгодженою
тоді і тільки тоді, коли порядок матриці
n
і
її найбільше власне значення
співпадають, тобто
. (
5.0)
Слід зазначити, що якщо елементи позитивної і узгодженої зворотньо-симетричної матриці А трохи змінити ("поворушити"), то її максимальне власне значення також незначно зміниться, що приведе до порушення умови узгодженості матриці ( 5.6).
Оцінити ступінь близькості позитивної зворотньо-симетричної матриці А до узгодженої можна по значенню показника, званого індексом узгодженості (ІУ), який дорівнює
. (
5.0)
Крім того, для цих цілей може бути використано так зване відношення узгодженості
ВУ = ІУ / М(ІУ),
де М(ІУ) - середнє значення (математичне очікування) індексу узгодженості випадковим чином складеної матриці парних порівнянь (див. табл. 5.1), яке ґрунтується на результатах статистичного моделювання, одержаних Т. Сааті [.].
Таблиця 5.1 – Середнє значення індексу узгодженості залежно від порядку матриці
Порядок матриці (n) |
М(ІУ) |
Порядок матриці (n) |
М(ІУ) |
Порядок матриці (n) |
М(ІУ) |
1 |
0,00 |
6 |
1,24 |
11 |
1,51 |
2 |
0,00 |
7 |
1,32 |
12 |
1,54 |
3 |
0,58 |
8 |
1,41 |
13 |
1,56 |
4 |
0,90 |
9 |
1,45 |
14 |
1,57 |
5 |
1,12 |
10 |
1,49 |
15 |
1,59 |
У
неузгоджених зворотньо-симетричних
матриць
і практично завжди
,
тому ІУ
0 і ВУ
0 . Вважається, що якщо ВУ не перевищує
0,10, то можна бути задоволеним ступенем
узгодженості думок.
Завдання про точне обчислення власного значення і власного вектора матриці А з n 4 відноситься до нерозв'язних. В цьому випадку необхідно використовувати наближені методи, засновані, наприклад, на одному з наступних алгоритмів.
Алгоритм 1
Крок 1: складаємо елементи кожного рядка матриці, і результати підсумовування представляємо у вигляді вектора стовпця такої ж розмірності, що і у матриці.
Крок 2: складаємо докупи всі елементи одержаного вектора стовпця.
Крок 3: ділимо кожний з елементів вектора стовпця на знайдену суму.
Алгоритм 2
Крок 1: складаємо елементи кожного стовпця початкової матриці і записуємо одержані результати в стовпець.
Крок 2: замінюємо кожен елемент стовпця на зворотний йому.
Крок 3: складаємо елементи стовпця із зворотних величин.
Крок 4: ділимо кожний з елементів зворотного стовпця на одержану суму.
Алгоритм 3
Крок 1: підсумовуємо елементи кожного стовпця.
Крок 2: ділимо елементи кожного стовпця матриці А на одержані суми.
Крок 3: складаємо елементи кожного рядка одержаної вище матриці.
Крок 4: записуємо кожну суму у відповідний рядок вектора стовпця.
Крок 5: ділимо кожний з елементів останнього стовпця на порядок матриці.
Алгоритм 4
Крок 1: перемножуємо елементи кожного рядка і записуємо одержані
результати в стовпець.
Крок 2: витягуємо корінь n-ой ступеня з кожного елементу одержаного стовпця.
Крок 3: складаємо елементи одержаного стовпця.
Крок 4: ділимо на одержану суму всі елементи стовпця.
Зауваження. Обчислення по двох різних алгоритмах повинні приводити до практично однакових результатів. Рекомендується використовувати алгоритм 4.