2.2.2. Методические указания к заданию №2

Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления молодняка крупного рогатого скота. Минимальная потребность молодняка в кормовых единицах и перевариваемом протеине равна 10,3 и 1136 г соответственно. Рацион составляется из трёх видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Себестоимости кормов равны: комбикорма – 4,2

у. е.; сена – 0,9 у. е.; силоса – 0,6 у. е. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма представлено табл.25.

Содержание питательных веществ в 1 кг корма Таблица 25

Показатель	Комбикорм	Сено	Силос
Кормовые единицы	1	0,5	0,2
Переваримый протеин, г	120	60	15

Согласно физиологическим особенностям животных, структура рационов по кормовым единицам должна удовлетворять следующим условиям: концентрированных кормов должно быть не менее 30 %, грубых кормов не более 25 %.

1. Составить экономико-математическую модель кормления.

2. Решить задачу двойственным симплекс-методом с критерием минимальной себестоимости кормов в рационе.

3. Определить стоимости веществ, потребляемых в кормах.

Решение. 1) Составим экономико-математическую модель задачи. Для этого определим переменные модели как потребление на голову молодняка, кг: – комбикорма; – сена; – силоса.

Составим ограничения на потребление питательных веществ:

– по кормовым единицам: ;

– по перевариваемому протеину: .

Составим ограничения по структуре видов кормов в рационе по кормовым единицам :

– содержанию концентрированного корма: ;

– содержанию грубого корма: .

В качестве целевой функции возьмём общую себестоимость кормов:

.

Учитывая условие минимизации себестоимости кормов, получим задачу линейного программирования:

.

Перенесём слагаемые с переменными в третьем и четвёртом ограничениях в правую часть: ; .

В итоге получим задачу линейного программирования в общем виде:

.

2) Решим полученную задачу линейного программирования двойственным симплекс-методом. Приведём её к стандартному виду. Ограничения типа «≥» умножением на минус единицу преобразуем в неравенства типа «≤», вместо целевой функции рассмотрим другую целевую функцию = – . Получаем стандартный вид задачи:

Составим симплекс-таблицу задачи и применим шаг двойственного симплекс-метода.

0
	-1	-0,5	-0,2	-10,3
	-120	-60	-15	-1136
	-0,7	0,15	0,06	0
	-0,25	0,375	-0,05	0
	4,2	0,9	0,6	0

При составлении таблицы учитываем, что коэффициенты целевой функции записываются с противоположными знаками. Чтобы различать таблицы на разных шагах, в левом верхнем углу будем её нумеровать. Исходную таблицу пометим номером ноль.

Таблица соответствует допустимому плану в двойственной задаче, так как все элементы в 1-строке неотрицательные

(элемент в –столбце не рассматриваем), но она не соответствует оптимальному плану, так как в –столбце есть строго отрицательные элементы (элемент 1-строки не рассматривается), например = – 10,3.

а) Выбираем разрешающую строку. В качестве разрешающей строки можно выбрать первую (выделена серым цветом), так как она содержит отрицательный элемент в –столбце:

= – 10,3. Также можно было выбрать и вторую строку, так как она тоже содержит отрицательный элемент в –столбце: = – 1136.

б) Выбираем разрешающий столбец. В качестве разрешающего столбца выбирается столбец, в котором двойственное симплексное отношение наибольшее. Вычислим двойственные симплексные отношения: = {4,2/–1}= – 4,2; ={0,9/–0,5}= – 1,8; = {0,6/–0,2}= – 3. В качестве разрешающего столбца выбираем второй (выделен серым цветом), так как в нём двойственное симплексное отношение наибольшее.

в) Разрешающим будет элемент = – 0,5 .

г) Проводим шаг исключений Жордана – Гаусса.

Переменные разрешающей строки и разрешающего столбца меняем местами.

1) Пересчитываем значение разрешающего элемента: = = = – 2.

2) Находим новые значения элементов разрешающей строки: = ; = .

= = 2_; = = 0,4; = = 20,6.

3) Вычисляем новые значения элементов разрешающего столбца:

= ; = .

= = –120; = = 3/10; = = 3/4;

= = 9/5.

4) Пересчитываем значения остальных элементов таблицы:

= , = ; = ;

= .

= = (–120 ∙ (– 0,5) – (– 1) ∙ (– 60) )/ – 0,5 = 0;

= =(–15 ∙ (– 0,5) – (– 0,2) ∙ (– 60) )/ – 0,5 = 9;

= =(– 1136∙(– 0,5) – (– 10,3)∙(– 60))/ – 0,5 = 100;

= = (– 0,7 ∙ (– 0,5) – (–1)∙0,15)/ – 0,5 = –1;

= = (0,06∙(– 0,5)–( – 0,2)∙0,15)/ – 0,5 = 0;

= =(0∙(– 0,5) – (– 10,3)∙0,15)/ – 0,5 = – 3,09;

= = (– 0,25 ∙ (– 0,5) – (– 1) ∙ 0,375 )/ – 0,5 = – 1;

= = ((– 0,05) ∙ (– 0,5) – (– 0,2) ∙ 0,375 )/ – 0,5 = – 1/5;

= = (0∙(– 0,5) – (–10,3)∙0,375) / – 0,5 = – 7,725;

= = (4,2 ∙ (– 0,5) – (– 1) ∙ 0,9 )/ – 0,5 = 12/5;

= = (0,6 ∙ (– 0,5) – (– 0,2) ∙ 0,9 )/ – 0,5 = 6/25;

= = (0 ∙ (– 0,5) – (– 10,3) ∙ 0,9 )/ – 0,5 = – 18,54.

1
	2	-2	0,4	20,6
	-40	-120	-6	100
	-1	0,3	0	-3,09
	-1	0,75	-0,2	-7,725
	2,4	1,8	0,24	-18,54

Новые положения переменных и значения элементов запишем в первой таблице.

Таблица не соответствует оптимальному плану, так как есть строго отрицательные элементы в –столбце, например = –3,09<0.

Проводим шаг двойственного симплекс-метода. а) Третья строка разрешающая, так как в ней в –столбце есть строго отрицательный элемент: = – 3,09 < 0. б) Выбираем разрешающий столбец.

= {2,4/-1}= –2,4; = {1,8/0,3}= – ∞; = {0,24/0}= – ∞. Разрешающим столбцом выбираем первый столбец. в) Разрешающий элемент = – 1.

г) Проводим шаг исключений Жордана – Гаусса, переходим ко второй таблице.

2
	2	-1,4	0,4	14,42
	-40	-132	-6	223,6
	-1	-0,3	0	3,09
	-1	0,45	-0,2	-4,635
	2,4	2,52	0,24	-25,956

Преобразованная таблица также не соответствует оптимальному плану, так как среди элементов –столбца есть строго отрицательные элементы ( = – 4,635).

Переходим к следующему шагу.

а) Выбираем разрешающую строку. Четвёртая строка разрешающая, так как

= – 4,635 < 0.

б) Выбираем разрешающий столбец. Вычисляем двойственные симплексные отношения: ={2,4/-1}= –2,4; = {2,52/0,45}= – ∞; = {0,24/-0,2}= – 1,2. Третий столбец разрешающий. в) Разрешающий элемент = – 0,2.

г) Проводим шаг исключений Жордана–Гаусса, переходим к таблице помеченной числом 3.

3
	0	-0,5	2	5,15
	-10	-145,5	-30	362,65
	-1	-0,3	0	3,09
	5	-2,25	-5	23,175
	1,2	3,06	1,2	-31,518

Так как среди элементов –столбца нет строго отрицательных элементов, то третья таблица соответствует оптимальному плану.

По таблице выписываем решение:

а) Значения базисных переменных в прямой задаче определяем по 1-столбцу: = 5,15; = 362,65; = 3,09; = 23,175.

б) Значение свободных переменных в прямой задаче равно нулю: = = = 0;

в) Значения базисных переменных в двойственной задаче определяем по 1-строке: = 1,2; = 3,06; = 1,2.

г) Значение свободных переменных в двойственной задаче равно нулю: = = = =0.

д) Значение целевой функции определяем на пересечение –столбца и 1-строки:

= = – 31,518. Тогда минимальное значение функции равно: = =

= – ( – 31,518) = 31,518.

Таким образом, решением задачи будет рацион =(3,09;5,15;23,175), а минимальное значение себестоимости: = 31,518.

Оптимальные количества кормов в рационе: комбикорма – 3,09 кг; сена – 5,15 кг; силоса – 23,518 кг. Минимальная себестоимость кормов дневного рациона равна 31,518 у. е.

3) Стоимости веществ равны двойственным оценкам этих веществ. Стоимость кормовой единицы равна , 1 г перевариваемого протеина – . Из решения задачи получаем: себестоимость кормовой единицы равна 3,06 руб., а 1 г перевариваемого протеина 0 руб. На =362,65 г ежедневно перевариваемый протеин потребляется выше нормы потребления.