2.2. Методические указания по выполнению контрольной работы №1

2.2.1. Методические указания к заданию №1

Фермерское хозяйство, ориентированное на выращивание яровой пшеницы и овса, имеет 80 га пашни, 630 человеко-дней трудовых ресурсов и 1800 л топлива, которые используются в течение производственного цикла. Планируется реализовать выращенную продукцию из расчёта 3600 руб. с 1 га, засеянного пшеницей, и 2900 руб. с 1 га, засеянного овсом.

Технологические коэффициенты потребностей в трудовых ресурсах и в топливе на

1 га в течение всего цикла приведены в табл. 24.

Потребность в трудовых ресурсах и в топливе на 1 га Таблица 24

Ресурсы	Яровая пшеница	Овёс
Трудовые ресурсы, чел. -дней	9	7
Топливо, л	20	24

1. Составить экономико-математическую модель задачи при условии максимизации выручки от реализации культур в конце цикла в виде задачи линейного программирования.

2. Решить поставленную задачу графическим способом.

3. Составить двойственную задачу.

4. Найти решение двойственной задачи по решению прямой задачи.

5. Определить оценку полезности используемых ресурсов и их дефицитность.

6. Определить для каждой культуры, выгодно ли её выращивать.

Решение. 1) Определим переменные задачи. Пусть , га – площадь пашни, засеянная яровой пшеницей; , га – площадь пашни, засеянная овсом. Составим ограничения на использование ресурсов: пашни, трудовых ресурсов и топлива.

а) Площадь пашни, засеянная культурами, составит га. Ограничение на использование пашни: .

б) Общее использование трудовых ресурсов за цикл равно человеко-дней. Ограничение по использованию трудовых ресурсов за цикл: .

в) Суммарное потребление топлива за цикл равно л.

Ограничение на потребление топлива: .

г) Суммарная выручка от реализации яровой пшеницы и овса составит:

_.

Учитывая условие максимизации выручки, получим задачу линейного программирования:

2 ) Решим задачу графически.

а) Найдём область допустимых решений как пересечение решений неравенств системы условий. Решения неравенств и ОДР представим на рис. 2.

Решаем первое неравенство: . Граница решения этого неравенства описывается уравнением: .

Это уравнение прямой. Обозначим её . Построим по двум точкам. Прямая проходит через точки: и (см. рис. 2). Определим искомую область по контрольной точке. Возьмём точку . Подставим её координаты в первое неравенство: . Отношение такое же, как и у неравенства. Решение первого неравенства содержит точку (см. рис. 2). Решим второе неравенство: . Граница решения этого неравенства описывается уравнением: . Это прямая. Обозначим её через . Построим её также по двум точкам: и (см. рис. 2). Определим искомую область по контрольной точке. Возьмём точку . . Решение второго неравенства содержит точку .

Решим третье неравенство: . Граница решения этого неравенства тоже прямая, описывается уравнением: . Обозначим её . Она проходит через точки и (см. рис. 2). Определим искомую область по контрольной точке. Возьмём точку . . Решение третьего неравенства содержит точку . Определяем ОДР: ОДР = (см. рис. 2).

б) Построим линию уровня и градиент. В качестве линии уровня для целевой функции выберем прямую, проходящую через точку . Эта линия уровня – прямая, в уравнении которой правая часть равна: = = 3600∙70 +2900∙0 = 252000. Тогда уравнение линии уровня имеет вид: .

Координаты градиента целевой функции Z равны коэффициентам при переменных в целевой функции: . Так как размеры градиента не входят в рисунок, рассмотрим вектор, сонаправленный с градиентом, например

= (см. рис. 2).

в) Определим решение задачи, передвигая линию уровня в направлении градиента. Решением будет точка – точка пересечения прямых и . Найдём координаты точки , решив систему уравнений . Решаем систему. Тогда , . Получаем . Оптимальное решение: = =(35;45).

Тогда = = 3600∙35 +2900∙45 = 256500.

Итак, решение исходной задачи: =(35;45), = 256500.

3) Строим двойственную задачу, используя правила составления двойственной задачи. Учтём, что число переменных двойственной задачи равно трём, а число ограничений двум.

.

4) Найдём решение двойственной задачи, используя вторую теорему двойственности. Для этого найдём остатки ресурсов при оптимальном плане , которые обозначим переменными , = 1, 2, 3.

= 80 – 35 – 45 = 0; = 630 – 9∙35 – 7∙45 = 0;

= 1800 – 20∙35 – 24∙45 = 20.

Проверим условия второй теоремы двойственности:

= 0: = 35 ≠ 0 → = 0 → = 3600.

= 0: = 45 ≠ 0 → = 0 → = 2900.

= 0: = 0 → ; = 0: = 0 → ;

= 0: = 20 → = 0.

Из проверки этих условий получаем для двойственной задачи:

= 3600, = 2900, = 0.

Получили систему уравнений для вычисления значений и : .

Её решение: , . Тогда оптимальное решение двойственной задачи: =(450;350;0),

Вычислим минимальное значение целевой функции двойственной задачи:

= 256500 = . Оптимальные значения функций обеих задач равны. Решение двойственной задачи: =(450;350;0), =(0;0), =256500 .

5) Так как = 20 ≠ 0, то топливо потребляется не полностью, является избыточным ресурсом. Оценки полезности пашни и трудовых ресурсов соответственно равны

= 450 ≠ 0 и = 350 ≠ 0. Тогда пашня и трудовые ресурсы являются дефицитными ресурсами, их дополнительное использование эффективно.

6) Так как посевные площади = 35 ≠ 0 и = 45 ≠ 0, то яровую пшеницу и овёс выращивать выгодно.