Короткі теоретичні відомості

Одне з найбільш відповідальних і складних питань при побудові кореляційних моделей – це вибір математичної форми зв’язку, під якою розуміють тип математичної функції, яка з’єднує між собою залежну і незалежну змінні. Найчастіше застосовують лінійну форму зв’язку типу:

y = , (5)

степеневу: y =а * хⁿ, (6)

логарифмічну: у =с* ln x+ b. (7)

Вибір тієї чи іншої форми зв’язку диктується рядом чинників. Насамперед вибрана функція повинна відбивати економічні закономірності, властиві конкретному виробництву.

Властивості коефіцієнта кореляції

1. Коефіцієнт r приймає значення на відрізку [–1;1], тобто –1≤ r ≤1. Чим ближче | r | до 1, тим тісніший зв’язок.

2. Якщо r > 0, то зв’язок прямий, якщо r < 0 – зв’язок обернений. При прямому (оберненому) зв’язку збільшення пояснюючої змінної веде до збільшення (зменшення) залежної змінної.

3. При r = ±1 зв’язок між X і У функціональний.

4. При r = 0 лінійний зв’язок між X і У відсутній.

Поряд з коефіцієнтом кореляції, одним із показників, що характеризують кількісний зв’язок між залежною і незалежною змінними є коефіцієнт еластичності. Для лінійної парної регресійної моделі даний коефіцієнт розраховується за формулою:

.

Він показує, на скільки відсотків у середньому зміниться залежна змінна при зміні незалежної змінної в середньому на один відсоток при інших незмінних умовах. Якщо модель є нелінійною, то для характеристики еластичності зв’язку розраховують середній коефіцієнт еластичності або коефіцієнт еластичності для певної точки (х*, у*). Середній коефіцієнт еластичності ( ) показує, на скільки відсотків у середньому для сукупності зміниться результат у від своєї середньої величини при зміні фактора х на 1 %.

Однією з найбільш ефективних оцінок адекватності регресійної моделі, характеристикою прогностичної сили моделі є коефіцієнт детермінації R².

Для лінійної моделі коефіцієнт детермінації може бути знайденим також і за формулою: R² = r². Величина коефіцієнта детермінації R² показує, яка частка варіації регресанта Y пояснюється за допомогою регресії. Наприклад, якщо R² = 0,90, то це означає, що на 90 % зміна Y обумовлена зміною X, тобто пояснюється моделлю, а на 10 % іншими причинами.

Коефіцієнт R² змінюється в межах 0 <R² < 1 . Тобто, чим ближче R² до 1, тим краще рівняння регресії апроксимує емпіричні дані.

Ще одним показником якості моделі є середня похибка апроксимації , яка обчислюється за формулою:

.

Прийнятна межа значень не більше 8 – 10%. Якщо > 10%, то модель вважається неадекватною.

Отже, показниками якості (адекватності) моделі вважаються: коефіцієнт кореляції, коефіцієнт детермінації, середня похибка апроксимації.

Завдання: За даними вибіркового дослідження відомі значення двох показників: X – середньоденна заробітна плата одного працюючого, грн; Y – витрати на придбання продовольчих товарів в відсотковому відношенні до загальних витрат, % (табл. 15).

Таблиця 15 – Вихідні дані до задачі

n	Y, %	X, грн
1	69	45
2	61	60
3	60	57
4	57	62
5	55	59
6	67	47
7	65	55

Побудувати лінійну модель залежності Y від X. Розрахувати коефіцієнти кореляції, детермінації. Оцінити модель через середню похибку апроксимації та F – критерій Фішера, зробити прогноз для індивідуальних значень при = 75 грн.