Дополнительные задачи к разделу 14.
Устные вопросы для повторения материала.
1. Что такое уравнение линии?
2. Почему уравнение линии на плоскости отличается от уравнения линии в пространстве?
3. Какие виды уравнения поверхности вы знаете?
4. Обязательно ли цилиндр или конус являются фигурами вращения?
5. Приведите примеры известных вам линейчатых поверхностей.
Контрольные задачи
1. К какому из видов поверхностей: а) цилиндр, б) конус, в) поверхность вращения относятся поверхности, уравнения которых имеют вид:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2.
Какое вид будет иметь уравнение линии
в новой системе координат, которая
повернута относительно старой системы
координат на угол
,
если в исходной системе уравнение линии
имеет вид
?
3. Предложите параметрическое описание эллипса, спирали и винтовой линии.
Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.
1. Исследуйте преобразования координат, при которых изменяется порядок алгебраической линии. Чему может быть равен определитель матрицы таких преобразований. Возможны ли обратные им преобразования?
2. Исследуйте возможные линейчатые поверхности, отличные от плоскостей , конусов и цилиндров. Отдельно рассмотрите однополостный гиперболоид и параболический параболоид.
Дополнительные задачи к разделам 15-18.
Устные вопросы для повторения материала
1. Что такое полуоси эллипса?
2. Какой геометрический смысл имеет эксцентриситет эллипса?
3. Чему равно расстояние между ветвями гиперболы?
4. Почему говорят, что парабола растет медленнее любой прямой?
5. Какая из линий второго порядка а) замкнута, б) незамкнута, в) имеет две ветви?
6. При вращении какой из линий второго порядка получается поверхность, которую используют в антеннах и телескопах?
7. Может ли прямая линия трижды пересекать гиперболу?
Контрольные задачи
1. Дана линия второго порядка
а)
;
б)
;
в)
.
Определите величину эксцентриситета этих линий и координаты их фокусов.
2.
Определить радиус и координаты центра
окружности
.
3.
Определить полуоси и координаты фокусов
эллипса
.
3. Составить уравнение линии второго порядка, оси которой совпадают с осями координат, зная, что она проходит через точки , .
4. Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри параболы и касающегося параболы в ее вершине. Предложите, по крайней мере, два различных решения.
5. Постройте с помощью карандаша, линейки, ниток и катушек (и т.п.) эллипс, параболу и гиперболу.
Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.
1. Исследуйте движение массивного тела в гравитационном поле притяжения. Получите уравнение возможных траекторий движения в каноническом виде.
2. Предложите параметрические уравнения для линий второго порядка. Рассмотрите различные виды параметризации.
3. В домашних условиях зеркало для телескопа-рефлектора можно получить, вращая сосуд c медленно застывающим эпоксидным клеем. Каким образом при этом получить зеркало с заданным фокусным расстоянием?
4. Иногда говорят, что конькобежцы затачивают один их краев лезвия «по параболе». Правда ли это, и какова возможная причина этого?