2013 г. Основы дискретной математики

Основы дискретной математики

Основная литература

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1992.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2001.

3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М.: Энергоатомиздат, 1988. 2-е изд., переработанное и дополненное.

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1979 (или более новые издания).

Дополнительная литература

5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. - М.: Наука, 1977.

6. Козырев О.Р., Куркин А.А., Максимов А.Г., Митяков С.Н. Теория обработки экономической информации. - Нижний Новгород: НГТУ, 2000.

Введение

1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел а) 32 и 24; б) 75 и 125.

2. Докажите, что число является иррациональным.

3. Докажите, что среди любых пяти последовательных натуральных чисел обязательно найдется число, делящееся на 5.

4. Докажите, что для всех натуральных n верны равенства:

а) ; б) 1²+2²+3²+…+n²= ;

в) ;

г) .

5. Докажите формулы для суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

6. Докажите формулу:

.

7. Доказать, что для всех натуральных n

а) выражение делится без остатка на 3; б) выражение кратно 6;

в) кратно 16; г) кратно 4; д) кратно 17.

8. Докажите неравенство Якоба Бернулли (1654-1705 гг.): если x>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство .

9. Докажите неравенство для натуральных n3: 2ⁿ>2n+1.

10. Доказать, что для всех натуральных n справедливы неравенства:

а) ;

б) , если a>0 и b>0.

11. Числовая последовательность задана рекуррентным способом: x₁=1, , где . Вывести формулу n-го члена этой последовательности.

12. Дано: a₁=2, a_n+1=3a_n+1. Докажите, что a_n= , где .

13. Числовая последовательность а₁, а₂, …, а_n,… задана условиями: a₁=1, a₂=9, , где . Докажите, что .

14. Дано: a₁=29, a₂=85, . Докажите, что , где .

15. Последовательность задана условиями: а₀=0, . Докажите, что для всех имеем: .

16. Последовательность Фибоначчи определяется следующими условиями:

a₀=0, a₁=1, . Докажите, что .

17. На плоскости проведено n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей разбивают плоскость эти прямые?

1. Теория множеств

18. Докажите утверждение: .

19. Даны 2 множества: A=(1; 3), B=(2; 4). Составьте множества АВ, АВ, А \ В, АВ.

20. Даны конечные множества: A={a,b, c, h, z}, B={a, c, e, f, z}, C={a, d, e, h}. Из каких элементов состоят множества , , ?

21. Даны множества: , , . Изобразите на плоскости (x, y) множества ; ; .

22. Изобразите на диаграмме Венна-Эйлера следующие множества:

а) ; б) ; в) ; г) .

23. Даны множества A, B, C. При помощи операций , , \ запишите множество элементов, которые принадлежат:

а) всем трём указанным множествам;

б) по крайней мере, одному из этих множеств;

в) любым двум из этих множеств, но не принадлежат всем трём.

г) по крайней мере, двум из этих множеств;

д) любому одному из этих множеств, но не принадлежат двум другим.

24. С помощью диаграммы Венна-Эйлера упростите выражения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

25. Какие отношения включения справедливы для следующих пар множеств:

а) и ; б) и ;

в) и ?

26. Замените знак * операцией алгебры множеств (, , \, ) так, чтобы равенство было верным. Ответ обоснуйте с помощью диаграммы Венна.

27. Какому множеству соответствуют прямоугольники диаграммы Венна для трёх множеств с номерами

а) {4, 5}, б) {2, 3, 7}?

Запишите это множество с помощью не более чем трёх операций алгебры множеств: , , \,  (каждая операция считается столько раз, сколько встречается в этом выражении; абсолютное дополнение можно использовать сколько угодно раз). Изобразите полученный результат на диаграмме Венна.

28. С помощью диаграммы Венна-Эйлера покажите справедливость законов

а) де Моргана; б) поглощения.

29. Проверьте на диаграмме Венна, выполняются ли законы: а) ассоциативности разности;

б) ассоциативности симметрической разности;

в) дистрибутивности объединения относительно симметрической разности;

г) дистрибутивности пересечения относительно симметрической разности.

30. Упростите выражения с помощью законов алгебры множеств:

a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) .

31. Составьте множество всех подмножеств (булеан) множества А, если

а) ; б) ; в) .

32. Даны множества: A=[0; 3], B=[-1; 1].

Изобразите на плоскости (x; y) прямое произведение этих множеств и .

33. Проверьте справедливость четырех законов дистрибутивности ( относительно ;  относительно ;  относительно ;  относительно ) на примере множеств A=[0; 1], B=[1; 2], C=[-1; 3]. Изобразите в пространстве (x; y; z) множества и .

34. Даны 2 множества: A={2; 3}, B={5; 6}. а) Составьте множества , , .

б) Какова мощность множества ? Выпишите любые 4 элемента этого множества.

в) Из каких элементов состоит заданное на множестве бинарное отношение ? Постройте матрицу такого отношения. Найдите D_ и Е_.

г) Сколько существует разбиений множества AВ таких, каждый блок которых содержит хотя бы одно четное число?

35. Даны 2 множества: A={1; 2; 3}, B={4; 5; 6}. а) Составьте множества и .

б) Какова мощность множеств и ? Выпишите любые 4 элемента каждого из этих множеств.

в) Из каких элементов состоит заданное на множестве бинарное отношение ? Постройте матрицу такого отношения. Найдите D_ и Е_.

г) Сколько существует разбиений множества AВ, все блоки которых равны между собой по мощности и каждый из них содержит ровно одно нечетное число этого множества?

36. Бинарные отношения ₁ и ₂ заданы матрицами.

а)

Постройте матрицу композиции ₁O₂.

б)

, .

Постройте матрицу композиции ₁O₂. Является ли отношение ₁O₂ рефлексивным или антирефлексивным, симметричным или антисимметричным?

в)

, .

Постройте матрицу композиции ₂O₁. Является ли отношение ₂O₁ рефлексивным или антирефлексивным, симметричным или антисимметричным?

37. Составьте матрицу для заданного на множестве бинарного отношения . Является ли  отношением эквивалентности или порядка (полного или частичного? cтрогого или нестрогого?)? Для заданий (в) и (г) найдите также ^-1 и O^-1.

а) X={3, 6, 9, 12, 18}, ;

б) X={1, 3, 5, 6, 7}, ;

в) X={4, 8, 12, 24, 36}, ;

г) X={1, 2, 3, 4, 5}, .

38. Является ли бинарное отношение  рефлексивным или антирефлексивным, симметричным или антисимметричным, транзитивным, полным?

а) xy= «x – сестра y» (на множестве людей);

б) xy= «число x больше числа y на 1» (на множестве целых чисел).