36 § 2. Элементы векторной алгебры
Элементы векторной алгебры
1. Векторы
О п р е д е л е н и е
1. Вектором
называется направленный отрезок с
началом в точке А
и концом в точке В.
О п р е д е л е н и е 2. Длиной вектора (или модулем) называется длина отрезка АВ. Используют обозначение: | | .
О п р е д е л е н и е
3. Два вектора
и
называются
равными,
если они имеют одинаковые длины, лежат
на параллельных прямых (то есть
коллинеарны)
и направлены в одну сторону (то есть
сонаправлены):
О п р е д е л е н и е
4. Проекцией
вектора
на ось
называется число, обозначаемое
,
вычисляемое по формуле:
.
О п р е д е л е н и е
5. Направляющими
углами вектора
называются углы между ним и координатными
осями:
О п р е д е л е н и е 6. Косинусы направляющих углов называются направляющими косинусами вектора.
О п р е д е л е н и е
7. Проекции
вектора
на координатные оси
называются координатами
вектора
и обозначаются, соответственно,
З а м е ч а н и е 1. Для любого вектора верно равенство:
(1)
где
орты
координатных осей
(то есть единичные векторы, сонаправленные
с соответствующей осью).
Равенство (1) для сокращения записи заменяют следующим:
.
З а м е ч а н и е 2. Для любого вектора верны равенства:
,
,
,
З а м е ч а н и е 3. У равных векторов равны соответствующие координаты:
З а м е ч а н и е 4. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
Причем, если
,
векторы
и
сонаправлены
;
если
,
векторы
и
противоположно направлены
.
З а м е ч а н и е 5. Длина вектора через координаты определяется по формуле:
Если известны
координаты точек
и
то
2. Операции над векторами
1 ) Сложение
Рис.
1
Вычитание
Рис. 2
Умножение вектора на скаляр :
Рис. 3