14.4.2. Задача максимизации доходности портфеля при заданном уровне риска
2.1. Задача отыскания портфеля из трех ценных бумаг с максимальной доходностью будет иметь вид
или в векторно-матричной форме
2.2. Для использования процедуры Поиск решения надо ввести данные в соответствующие ячейки, например, как показано ниже
матрица |
|
bank |
industrial |
telecomm |
|
ковариации |
bank |
0.031 |
-0.007 |
-0.007 |
|
|
industrial |
-0.007 |
0.077 |
0.125 |
|
|
telecomm |
-0.007 |
0.125 |
0.285 |
|
доходности |
0.117 |
0.181 |
0.273 |
|
|
максимум |
риска |
|
|
0.128 |
|
|
|
|
|
|
|
ячейки |
0 |
B9 |
B10 |
|
|
переменных |
0 |
|
|
|
|
задачи |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ячейка целевой функции |
|
|||
|
-МУМНОЖ(B5:D5,B8:B10) |
|
|
|
|
|
вычисление дисперсии |
|
|||
|
МУМНОЖ(B8:D8,C2:E4) |
|
|||
|
ячейка ограничений на риск |
||||
|
МУМНОЖ(B15:D15,B8:B10)-E6 |
|
|
|
|
|
дисперсия портфеля |
|
|||
|
МУМНОЖ(B15:D15,B8:B10) |
|
|
|
|
|
ограничение на доли |
|
|||
|
СУММ(B8:B10)-1 |
|
|
|
|
|
среднеквадр. отклонение |
|
|||
|
КОРЕНЬ(B19) |
|
|
|
|
NASDAQ COMPOSITE |
0.172 |
0.358 |
0.128 |
|
|
Применяя Поиск решения, получаем решение задачи
матрица |
|
bank |
industrial |
telecomm |
ковариации |
bank |
0.031 |
-0.007 |
-0.007 |
|
industrial |
-0.007 |
0.077 |
0.125 |
|
telecomm |
-0.007 |
0.125 |
0.285 |
доходности |
0.117 |
0.181 |
0.273 |
|
максимум |
риска |
|
|
0.128 |
|
|
|
|
|
ячейки |
0.33059 |
0 |
0.66941 |
|
переменных |
0 |
|
|
|
задачи |
0.66941 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ячейка целевой функции |
|
||
|
0.22143 |
|
|
|
|
вычисление дисперсии |
|
||
|
0.00556 |
0.08136 |
0.18847 |
|
|
ячейка ограничений на риск |
|||
|
2.4E-07 |
|
|
|
|
дисперсия портфеля |
|
||
|
0.128 |
|
|
|
|
ограничение на доли |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Среднее квадр. отклонение |
|
||
|
0.35777 |
|
|
|
|
|
|
|
|
NASDAQ COMPOSITE |
0.172 |
0.358 |
0.128 |
|
Таким образом, доли ценных бумаг, входящих в портфель, распределяются следующим образом
Индекс |
Доля в портфеле |
NASDAQ BANK |
0,331 |
NASDAQ INDUSTRIAL |
0 |
NASDAQ TELECOMMUNICATIONS |
0,669 |
Доходность портфеля 0, 221; дисперсия 0,128; среднее квадратическое отклонение 0,358. Таким образом, портфель имеет риск как у индекса NASDAQ COMPOSITE, но нам удалось повысить доходность.
2.3. Функция Лагранжа для отыскания оптимального решения будет иметь вид
2.4.
Система уравнений для отыскания
оптимального решения будет иметь вид
2.5. Применив Поиск решения, получим следующие результаты:
матрица |
|
bank |
industrial |
telecomm |
ковариации |
bank |
0.031 |
-0.007 |
-0.007 |
|
industrial |
-0.007 |
0.077 |
0.125 |
|
telecomm |
-0.007 |
0.125 |
0.285 |
доходности |
0.117 |
0.181 |
0.273 |
0.172 |
ячейки |
|
|
|
максимум |
переменных |
|
|
доходности |
|
омега |
0.33059 |
|
|
портфеля |
|
0 |
|
|
|
|
0.66941 |
|
|
|
мю |
0 |
|
|
|
|
0.00065 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0.42646 |
|
|
|
|
0.11226 |
|
|
|
|
0.15747 |
|
|
|
|
линейные уравнения |
|
||
|
-3E-07 |
|
|
|
|
3.6E-07 |
|
|
|
|
1E-06 |
|
|
|
|
условия на переменные |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-2E-09 |
|
|
|
|
ограничение на доли |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
вычисление дисперсии портфеля |
|||
|
0.33059 |
0 |
0.66941 |
|
|
0.00556 |
0.08136 |
0.18847 |
|
|
дисперсия портфеля |
|
||
|
0.128 |
|
|
|
|
ско |
|
|
|
|
0.35777 |
|
|
|
|
ограничение на дисперсию |
|||
|
-6E-09 |
|
|
|
|
доходность портфеля |
|
||
|
0.22143 |
|
|
|
2.6. Таким образом, результаты решения задачи двумя способами совпадают.