Дослідження електричних кіл методом вузлових потенціалів

Мета: дослідження електричних кіл методом вузлових потенціалів; визначення параметрів електричних кіл (струм, напруга); побудова векторних діаграм струмів і напруг.

Теоретичні положення

Метод вузлових потенціалів є модифікацією методу рівнянь Кірхгофа і базується на рівняннях першого закону Кірхгофа [1–3]. Струм в будь-якій вітці електричного кола може бути визначений за законом Ома для ділянки кола, якщо відомі потенціали вузлів, між якими підключена вітка електричного кола. Наприклад, для вітки, увімкненої між вузлами 2 і 1 (рис. 4.1), струм

Рис. 4.1

, (4.1)

де – відповідно потенціали 2-го і 1-го вузлів.

Рис. 4.2

Побудову системи рівнянь розглянемо на прикладі схеми рис. 4.2. Приймемо, що потенціал четвертого вузла дорівнює нулю, а для інших вузлів запишемо рівняння за першим законом Кірхгофа:

;

; (4.2)

.

Визначаємо струми в кожній вітці відповідно до (4.1):

; ;

; ; ; .

Отримані вирази для струмів підставимо в рівняння (4.2):

Отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно трьох невідомих потенціалів. Запишемо її у вигляді:

де – сума провідностей віток (власна провідність -го вузла), які сходяться у вузлі ( ; ; );

– сума провідностей віток, які з’єднують вузли та (взаємні вузлові провідності), наприклад, та ;

– алгебраїчна сума струмів -го вузла (вузловий струм -го вузла) ( , ; ). Знак „+” в цій сумі ставиться у тому випадку, якщо ЕРС направлена до вузла, для якого записується рівняння.

Якщо в електричному колі є джерело струму, то воно увійде в праву частину рівняння зі знаком „+” у випадку, коли струм джерела спрямований до вузла.

Завдання

1. Для заданої схеми (рис. 4.3 – І варіант та рис. 4.4 – ІІ варіант) скласти комплексну схему заміщення та систему рівнянь для розрахунку за методом вузлових потенціалів.

2. Записати вирази для визначення власних і загальних провідностей, вузлових струмів та струмів у вітках заданої електричної схеми.

3. За допомогою пакета MathCAD розрахувати складену систему рівнянь. Знайти вузлові потенціали, струми у вітках схеми, напруги на елементах схеми, початкові фази струму та напруг. Результат розрахунків перевірити методом балансу потужностей.

4. Записати вирази для миттєвих значень струмів у всіх вітках і визначених потенціалів.

5. Побудувати векторну діаграму напруг одного з контурів.

6. Побудувати векторну діаграму струмів для базисного вузла.

7. Зробити висновки по роботі та отриманим результатам.

Вихідні дані

І варіант: R₁=10 Ом; R₂=16 Ом; R₃=5 Ом; R₄=10 Ом; R₅=25 Ом; R₆=4 Ом; R₇=12 Ом; L₁=0,02 Гн; L₂=0,04 Гн; С₁=20 мкФ; С₂=24 мкФ; =2200 рад/с; , А;

, В; , В;

ІІ варіант:R₁=5 Ом; R₂=10 Ом; R₃=8 Ом; R₄=16 Ом; R₅=20 Ом; R₆=15 Ом; R₇=7 Ом; L₁=0,035 Гн; L₂=0,05 Гн; С₁=220 мкФ; С₂=180 мкФ; =300 рад/с; , А;

, В; , В;

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Приклад виконання лабораторної роботи

Задано електричну схему (рис. 4.5).

Складаємо комплексну схему заміщення (рис. 4.6), на якій задаємося умовно додатними напрямами струмів.

Як базисний приймаємо 4-й вузол, таким чином .

Система рівнянь для визначення вузлових потенціалів, за умови, що , має вигляд:

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Власні провідності визначимо за формулами:

; ;

.

Взаємні провідності:

; ; .

Вузлові струми:

; ; .

Струми у вітках електричної схеми знайдемо за законом Ома для ділянки кола:

; ; ; ;

; ; ; ; .

За допомогою математичного пакета MathCAD виконуємо необхідні розрахунки і побудуємо векторні діаграми аналогічно попереднім роботам.

Контрольні питання

1. Що таке власна провідність вузла?

2. Що таке взаємна провідність?

3. Як визначити величини вузлових струмів?

4. Складіть систему рівнянь за методом вузлових потенціалів і запишіть вирази для струмів у вітках електричного кола іншого варіанта.

Лабораторна робота 5