Тема 3.6 Общие теоремы динамики

Иметь представление о понятиях «импульс» силы», «количества движения», «кинетическая энергия»; о системе материальных точек, о внутренних и внешних силах системы.

Знать основные теоремы динамики, основные уравнения динамики при поступательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для расчета моментов инерции некоторых одинаковых элементов твердых тел.

Уметь определять параметры движения с помощью теорем динамики.

Закон изменения количества движения

Количеством движения материальной точки называется вектор­ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

Вектор количества движения по направлению совпадает со скоростью. Количество движения материальной точки можно спроецировать на координатные оси. Проекцией на ось х будет mv_x, проекцией на ось у — mv_y, проекцией на ось z — mv_z.

Е диница измерения количества движения в Международной системе единиц (СИ)

[q] — [тυ] = [т] [v] — кг *м/с.

Импульсом постоянной силы называется вектор, равный произ­ведению силы на время ее действия и имеющий направление силы

рис.3.17

где t₂ и t₁ — конечный и началь­ный моменты времени. Единица измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) равна единице количества движения

[S] = [Ft] = [F] [t] = H*c = кг*м/с.

Установим закон изменения количества движения для случая, когда точка С движется прямолинейно под действием постоянной силы (рис. 142). Согласно основному уравнению динамики, уско­рение точки при этом — постоянно, и точка движется равно­переменно.

Скорость точки С в произвольный момент времени определяем по формуле равнопеременного движения

, откуда . Подставим найденное значение ускорения в основной закон динамики:

или .

Учитывая, что произве­дение Ft является импульсом действующей силы, оконча­тельно имеем:

Следовательно, алгебраи­ческое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время t = t₂ — t₁ равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

Потенциальная и кинитецеская энергия

Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с по­тенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опуска­нии с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив 'потенциальную энергию Е_п, получим

где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.

Кинетическая энергия определяется способностью движущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. .

Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах работы:

Закон изменения кинетической энергии

Пусть на материальную точку массой m действует постоянная сила . В этом случае точка имеет постоянное ускорение ; движение ее будет равномерно-ускоренным.

Рассмотрим случай, когда направление движения совпадает с направлением силы (см. рис. 3.17). Пусть точка под действием силы переместится из положения С₁ в положение С₂. Если обо значить начальную и конечную скорости точки соответственно через Vx и w_a, то ускорение движения можно определить по формуле:

где t — время движения.

Перемещение точки приложения силы . Работа силы , учитывая, что ее направление совпадает с пере­мещением, такова:

Подставив в выражение работы значение силы , по основному закону динамики получим .

В последнем уравнении заменим значение ускорения а и пере­мещения s их выражениями

.

Это уравнение показывает, что изменение кинетической анергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давле­ния, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от суммарной массы системы где о масса отдельных точек механической системы.

Движение системы зависит и от положения центра масс си­стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

Fz = ma_c

где т — суммарная масса тела; а_с— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела

П усть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 3.18).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δт_к. Каждая точка движется по окружности радиуса r_k с касательным ускорени­ем и нормальным ускорением , где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

— касательную

— нормальную

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: где M_z - момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны , где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим . рис.3.18

Величина называется моментом инерции тела от­носительно оси вращения и обо­значается J_z.

В результате получим выра­жение основного уравнения дина­мики вращающего тела: , где M_z — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

П о выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ . Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 3.19)

Момент инерции полого тонкостен­ного цилиндра (рис. 17.5) J_z = mr².

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения рис. 3.19

(относительно zz, рис.3.20.a);

(относительно рис 3.20,б).

Момент вращения шара (рис.3.20,в)

рис.3.20