Тема 1.8 Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Кинематика

Тема 2.1 Основные понятия кинематики. Кинематика точки

Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.

Знать способы задания движения точки (естественный и координатный).

Знать обозначения, единицы измерения, взаимосвязь кинематических параметров движения, формулы для определения скорости и ускорений (без вывода).

Уметь определять параметры движения точки; строить и читать кинематические графики

Кинематика – часть теоретической механики, в которой изучается движение материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. Кинематика рассматривает движение как перемещение в пространстве. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения кинематических параметров движения.

Когда в механике говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение с течением времени его положения в пространстве по отношению к другим телам. Обычно тело, по отношению к которому изучают движение, связывают с какой – нибудь системой координат. Эту систему координат вместе с выбранным способом измерения называют системой отсчета. Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время неизменными, то тело находится в покое. Если рассматривается движение тела по отношению к условно неподвижной системе отсчета, то движение называют абсолютным; движение тела по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным.

Положение тел в пространстве меняется с течением времени, причем время не засвистит от выбранной системы отсчета, т.е является независимой переменной. Все остальные переменные величины (расстояние, скорость, ускорение) являются функциями времени. За единицу времени в системе СИ принята секунда (с), а за единицу длины – метр (м).

Время отсчитывается от некоторого, заранее выбранного начального момента (t=0). Число единиц времени, прошедших от начального момента до данного мгновения, называют моментом времени t. Промежуток времени Δt= определяется числом единиц времени, прошедших от более раннего момента времени до более позднего . Промежуток скорости: ;

Некоторые определения теории механизмов и машин

При дальнейшем изучении предмета теоретической ме­ханики, в особенности при решении задач, мы столкнемся с но­выми понятиями, относящимися к науке, которая называется теорией механизмов и машин.

Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, совершающих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.

Машина есть механизм или сочетание механизмов, осу­ществляющих определенные целесообразные движения:

1) для преобразования энергии (энергетические машины);

2) изменения формы, свойств, состояния и положения пред­мета труда (рабочие машины);

3) для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).

Таким образом, всякая машина состоит из одного или не­скольких механизмов, но не всякий механизм является маши­ной. Работа механизма или машины обязательно сопровождает­ся тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений — мостов, зданий и т. д.

Простейшей частью механизма является звено. Звено — это одно тело или неизменяемое сочетание тел.

Два звена, соединенные между собой и допускающие отно­сительное движение, называются кинематической парой. Ки­нематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, враща­тельные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).

Совокупность кинематических пар называется кинемати­ческой цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоски­ми и пространственными.

Механизм получается из кинематической цепи путем за­крепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называет­ся станиной или стойкой.

Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, на­зывается балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по ста­нине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.

Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.

В качестве примера рассмотрим широко распространенный кривошипно-ползунный механизм, схематически изображен­ный на рис. 2.1. Этот механизм служит для преобразования вра­щательного движения в возвратно-поступательное (например, в компрессорах, поршневых насосах, эксцентриковых и криво­шипных прессах) или, наоборот, для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное (например, в паро­вых машинах, двигателях внутренне­го сгорания).

Кривошипно-ползунный меха­низм состоит из четырех звеньев: кривошипа ОА, ползуна В, станины и четырех кинематических пар: вра­щательной пары станина — кривошип, вращательной пары кривошип рис. 2.1

– шатун, вращательной пары шатун – ползун и поступательной пары ползун – станина.

Кривошипно – ползунный механизм – плоский, его ведающим звеном может быть либо кривошип, либо ползун.

Три способа задания движения точки. Основные кинематические параметры

Знание законов движения тела означает знание законов движения каждой его точки, поэтому изучение кинематики нач­нем с изучения движения геометрической точки.

Траекторией точки называется множество (геометриче­ское место) положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета. В зависимости от формы траектории движение точки бывает двух видов: прямолинейное и криволинейное.

Естественный способ заключается в том, что движение точки задается ее траекторией, началом отсчета и уравнением движения по этой траектории (законом движения). В общем ви­де уравнение движения записывается следующим образом:

s=f(t)

где s — расстояние точки от начального положения, являющееся функцией времени; t — время движения точки от начального момента.

Зная траекторию точки и уравнение движения по этой тра­ектории, можно определить положение точки в любой момент времени, подставив время в равенство s=f(t).

При своем движении точка проходит некоторый путь, также являющийся функцией времени. Следует подчеркнуть, что путь, пройденный точкой, совпадает с расстоянием от начала отсчета лишь тогда, когда точка все время дви­жется в одном направлении и начало ее движения совпа­дает с началом отсчета.

Координатный способ заключается чается в том, что движение точки задается движением ее проекций вдоль осей координат (рис. 2.2). Уравнения плоского движения точ­ки в координатной форме записываются следующим образом:

рис. 2.2

Векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость – вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения. u=s\t=const (предполагается, что начала отсчета пути и времени совпадают). Единица скорости = метр в секунду = м/с.

Скорость есть величина век­торная. При прямолинейном рав­номерном движении скорость по­стоянна и по модулю, и по направ­лению, а вектор ее совпадает с траекторией (рис. 2.3, а).

П ри криволинейном движении скорость точки меняется по на­правлению (рис. 2.3, б). Для того чтобы установить направление вектора скорости, разобьем тра­екторию на бесконечно малые участки пути Δs, которые можно считать прямолинейными в силу их малости. Тогда на каждом участке условная скорость v_n такого прямолинейного движения будет направлена вдоль хорды. В пределе при Δs, стремящемся к нулю, хорда совпадает с касательной, следовательно, скорость в каждый момент времени направлена по касательной к тра­ектории в сторону движения (см. рис. 2.3, б).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости ме­няется. Представим себе точку, движение которой задано естест­венным способом уравнением s=f(t). Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла

путь Δs, то ее средняя скорость .

рис.2.3

Ускорение точки

В екторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и

направлению, называется ускорением точки (рис.2.4).

С корость точки при перемещении из точки М₁ в точку М₂ ме­няется по величине и направлению.

Среднее значение ускорения за этот промежуток времени:

При рассмотрении бесконечно ма­лого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный момент:

рис.2.4

Истинное ускорение при прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты по времени. Единица ускорения: метр на секунду в квадрате = м/с².

О бычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярно составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 2.5).

Н ормальное ускорение a_n характеризует изменение скорости по направлению и определяется как , где r – радиус кривизны траектории в данный момент времени.

рис.2.5

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение a_t характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости.

рис.2.6

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Значение полного ускорения определяется как (рис. 2.6).

* называется тангенциальным или касательным ускорением, а - номинальным или центростремительным ускорением.

Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение ускоренное. Если 0, то вектор касательного ускорения направлен в строну, противоположную вектору скорости, и движение замедленное.

Ускорение точки при криволинейном движении

При движении точки по криволинейном траектории скорость меняет свое направление. Представим себе точку М , которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение (рис. 2.7).

Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда .

Для нахождения вектора Av перене­сем вектор и, в точку М и построим тре­угольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

а_ср = Δv/Δt.

В ектор а_ср параллелен вектору Δv, так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется. Вектор истин­ного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:

Таким образом, истинное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, равно векторной производной скорости по времени; при этом вектор ускорения всегда на­правлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 2.5). рис.2.7

П онятие о кривизне кривых линий

Ускорение точки при криволинейном движении зави­сит от степени изогнутости ее траектории, т. е. от кривизны траектории

Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2.8, а). Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках на­зывается углом смежности.

К ривизной кривой в данной точке называется предел отноше­ния угла смежности к соответст­вующей длине Δs дуги, когда по­следняя стремится к нулю. Обозна­чим кривизну к, тогда:

Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 2.8, б). Так как Δs=RΔφ, то

р ис.2.8

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одина­кова и равна к=1/R.

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус р такой окружности называется радиусом кривиз­ны кривой в данной точке, а центр этой окружности называется центром кривизны.

Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обрат­ная радиусу кривизны в этой же точке: к - 1/р.

Очевидно, что кривизна прямой линии равна нулю, а радиус кривизны равен бесконечности:

k=0, ρ=1/к = .

Виды движений точки в зависимости от ускорений

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоро­стью:

v = const.

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 2.9, а)

Полное ускорение движения точки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномерном движении

(рис. 2.9, б).

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = а_п. рис.2.9

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой:

S = So+vt, где Sо — путь, пройденный до начала отсчета.

Р авнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным ка­сательным ускорением:

at — const.

Для прямолинейного равнопеременного движения

a = a_t = const.

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 2.10):

a_n ≠ 0; a_t = const ≠ 0. рис.2.10

Учитывая, что ; а_t = const и сделав ряд преобразований:

получим значение скорости при равнопеременном движении

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

где v₀ — начальная скорость движения;

So — путь, пройденный до начала отсчета;

a_t — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f(t³) и выше степени.

Анализируя формулы касательного и номинального ускорений, можно установить следующие виды движения точки:

1) : движение неравномерное (υ const)криволинейное (ρ );

2) : движение равномерное(υ=const) криволинейное ( );

3) : движение неравномерное ( ) прямолинейное ( );

4) : движение равнопеременное криволинейное, если , или прямолинейное, если );

5) : движение равномерное прямолинейное – единственный вид без ускорения. Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Кинематические графики

Кинематические графики – это изменения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рис.2.11)

t ,c

рис.2.10

Равнопеременное движение (рис.2.11)

рис.2.11