3.3.4. Преобразования Фурье в мозге

Согласно авторской концепции нейроголографии, в анатомическом строении мозга многократно повторены структуры, приспособленные для выполнения прямых и обратных преобразований Фурье. Роль световых лучей здесь выполняют волны нервного возбуждения, а в качестве линз выступают ядра

If we build a straight line through the origin of coordinates, which is parallel to the initial stripes, then the spots will be arranged by two sides from it on the verticals restored from the center. For example, the spots a and a' correspond to area A, the spots b and b' – to area B, etc.

The higher the spatial frequency, the greater the distance from the center, at which the corresponding light spots locate.

Arrangement of the spots in the frequency region reflects the orientation of the stripes, however it is indifferent (invariant) to location of the stripes on the transparency (i.e. the spots do not change and do not shift during cross motion of the stripes). However it does not mean that Fourier-pattern contains not all data about the source image. In fact, the data about location of the stripes is encoded in the phase portrait of the waves that generate the Fourier-pattern, and it cannot be mapped in our figure.

Also, the exact location of the stripes would not be registered on the film mounted on the plane W, since in traditional photography darkening of photoemulsion registeres the intensity of the light flux but not the phase of light oscillations. If we apply the holographic principles, i.e. if besides Fourier-pattern the unmodulated (reference) bundle of the same coherent rays as those illuminating the transparency are directed on the plane W, then pulsations between them will create a complicated pattern of interference that carries the information about the wave phases. Such approach exactly enables recording not only the data about optical densities of the stripes on the film, but also about the transverse displacement of the stripes as related to the system axis, i.e. the data about the stripe phases.

3.3.4. Fourier transforms in the brain

According to the author’s concept about neuroholography, the anatomic structure of the brain repeats many times the patterns aimed at performing direct and inverse Fourier transforms. Here, the waves of nervous excitation play the role of light rays and the brain nuclei – the round clusters of small neurons with short axons - serve as lenses. The human encephalon

мозга – округлые скопления мелких нейронов с короткими аксонами. В головном и спинном мозге человека насчитывается около 260 таких ядер [Оленев, 1987].

Как известно, у млекопитающих, в отличие, например, от кальмаров, длинный отросток нейрона – аксон – обёрнут шванновскими клетками, заполненными жироподобным диэлектрическим веществом – миелином. Шванновские клетки изолируют волокна нервного пучка от окружающих тканей, но изоляция имеет разрывы на стыках между шванновскими клетками, где возникает электрический контакт аксона с межклеточной средой. Участки разрыва изоляции нервного волокна называются перехватами Ранвье.

Распространение нервного возбуждения вдоль такого аксона происходит не плавно, как в аксоне кальмара, а скачками, от одного перехвата Ранвье к другому, причём затраты времени на прохождение одного перехвата в первом приближении одинаковы и не зависят от длин участков между соседними перехватами. Поэтому скорость распространения нервного возбуждения оказывается тем выше, чем дальше перехваты друг от друга.

.В нервном пучке расстояние между перехватами Ранвье намного больше, чем внутри ядра. К тому же, каждое волокно пучка является непрерывным аксоном одного нейрона и при прохождении по нему сигнал не задерживается на синаптических переходах, тогда как нейроны ядра имеют очень короткие аксоны, и в ткани ядра сигнал должен многократно преодолевать синаптические щели. В результате, при переходе от пучка волокон к ткани ядра волна нервного возбуждения скачком замедляет своё распространение.

Изменение скорости распространения волн при пересечении некоторой поверхности, как известно, сопровождается преломлением волны на этой поверхности. Преломление происходит даже в том случае, если скорость волн изменяется не скачком, а плавно. Так, кажущаяся деформация Солнца во время восхода и заката вызывается плавным увеличением скорости света с высотой из-за уменьшения коэффициента преломления атмосферы.

and neuraxis comprise about 260 of such nuclei [Olenev, 1987].

It is known that mammals, unlike for example the squids, have the long appendix of the neuron – axon – covered by Schwann cells filled with fatty dielectric substance that is myelin. The Schwann cells segregate the nerve bundle fibers from surrounding tissues. The segregation, however, has ruptures on the joints between Schwann cells, where the electric contact of an axon with intercellular medium occurs. The regions of ruptures of the nerve fiber segregation are called nodes of Ranvier.

Propagation of the nervous excitation across such axon occurs not so smoothly, as in the axon of the squid, but in descrete steps, fom one node of Ranvier to another, the time costs for one node in the first approximation are the same and independent on the lengthes of regions between the adjacent nodes. Therefore, the greater is the distance between nodes, the higher is the speed of nervous excitation propagation.

In the nerve bundle the distance between nodes of Ranvier is much greater than that inside the nucleus. To add, each fiber of the bundle is a continuous axon of one neuron. When passing through it, the signal is not delayed on synaptic transitions, while the nucleus neurons have very short axons and in the nucleus tissue the signal must repeatedly overcome synaptic slots. As a result, when passing from the fiber bundle to the nucleus tissue, the nervous excitation wave slows down its propagation in a stepwise manner.

Variation of the wave propagation speed at crossing some surface, as known, is accompanied by wave refraction on that surface. Refraction occurs even when the wave velocity changes not stepwise but smoothly. Thus, the apparent deformation of Sun during the sunrise and sunset is caused by gradual increase of the light speed depending on the height, due to reduction of the atmosphere refraction factor.

Преломление волны на сферической поверхности создаёт эффект линзы, фокусное расстояние f которой, как мы видели в главе 2.1.7., можно определить, пользуясь нулевым инвариантом Аббе [Ландсберг, 1976], по известной из той же главы формуле:

nR

f =  . (2)

n  1

где n – коэффициент преломления, т.е. отношение скоростей распространения волн в первой и второй средах; R – радиус сферической поверхности или, в нашем случае, радиус поверхности ядра мозга.

Из формулы видно, что при сферической форме ядра и соотношении скоростей распространения нервного возбуждения в пучке волокон и в ядре два к одному фокусное расстояние оказывается точно равным диаметру ядра. При таких параметрах ядро мозга способно выполнять роль преобразователя Фурье. Другими словами, если пучок волокон подаст на вход ядра когерентную волну-образ, на противоположной стороне ядра сформируется Фурье-образ того узора, которым была промодулирована входная волна.

Учитывая такую обработку, ядра мозга, выполняющие прямое или обратное преобразования Фурье, будем называть процессорными ядрами.

Схема типового нейро-оптического преобразователя Фурье, используемого мозгом, приведена на рис. 3.3. Здесь: 1 – пучок нервных волокон, подводящий входные сигналы; 2 – шарообразное процессорное ядро мозга; 3 – поверхность формирования Фурье-образа (при прямом преобразовании Фурье) или поверхность восстановления исходного изображения (при обратном преобразовании); 4 – пучок волокон, отводящий выходные сигналы; f – фокусное расстояние ядра при указанных выше условиях.

В зоне подключения к ядру пучок нервных волокон разветвляется, отчего периферийные волокна становятся длиннее центральных. При переходе от пучка волокон к короткоаксонным нейронам ядра скорость волны нервного возбуждения скачком уменьшается и волна входит в более или менее изотропную среду. Именно это важно для выполнения ядром роли линзы. Ещё

The wave refraction on th spherical surface creates the effect of the lens the focal length f of which, as mentioned in 2.1.7., can be determined by Abbe zero invariant [Landsberg, 1976], using the formula given in that paragraph:

nR

f =  . (2)

n  1

where n – refraction factor, i.e. the relation of wave propagation velocities in the first and second media; R – radius of spherical surface or, in our case, the radius of the brain nucleus surface.

It is seen from the formula that given spherical shape of the nucleus and the relation of nervous excitation propagation velocities in the fiber bundle and in the nucleus being 2:1 the focal length appears exactly equal to the nucleus diameter. With such parameters the brain nucleus is capable of playing the role of Fourier transformer. In other words, if the fiber bundle supplies a coherent pattern wave to the nucleus input, then on the opposite side of the nucleus a Fourier-pattern will be formed, being the same as that by which the input wave has been modulated.

Taking into account such processing, let us call the brain nuclei performing direct or inverse Fourier transform processor nuclei.

Fig. 3.3 gives a schematic of a standard neuro-optical Fourier transformer used by the brain. Here, 1 – the nerve fiber bundle that supplies input signals; 2 – spherical processor nucleus of the brain; 3 – the surface of Fourier-pattern (in direct Fourier transform) formation or the surface of the source image (in inverse Fourier transform) restoration; 4 – the fiber bundle withdrawing the output signals; f – focal length of the nucleus under conditions stated above.

In the area of connecting to the nucleus the nerve fiber bundle branches out that makes the peripheral fibers longer than central ones. When passing from the fiber bundle to short-axon neurons of the nucleus, the nervous excitation wave slows down in a stepwise manner and enters the more or less isotropic medium. This very fact is of great importance for the nucleus to serve as lens. Also, it is important that

важно, что оптическая длина нервного волокна (время прохождения сигнала) определяется числом перехватов Ранвье на нём, и практически совершенно не зависит от реальной длины аксона. Если все волокна пучка имеют одинаковые количества перехватов Ранвье, то, независимо от их длин, поверхность волны нервного возбуждения на выходе пучка сохранит форму, которая была на входе, т.е. нерв будет переносить образ подобно стекловолоконному пучку с плоскопараллельными торцами.

Преобразования же волнового поля, придающие поверхности преломления свойства линзы, возникают в случаях, когда плоский фронт волны после преломления становится вогнутым или выпуклым. Образование вогнутого фронта соответствует выполнению преломляющей поверхностью роли собирающей, а выпуклого – рассеивающей линзы. При этом не существенно, по какой причине фронт волны стал, например, вогнутым – это не изменяет результата. Причиной может быть не только сферическая форма рассматриваемого ядра мозга, но и увеличение количества перехватов Ранвье от периферийных волокон подводящего нерва к центральным, что дополнительно задерживает сигнал центральных волокон. Это нужно учитывать при изучении анатомии конкретных пучков и ядер.

the optical length of the nerve fiber (the propagation time) is determined by the number of Ranvier nodes occurring on it and is practically independent on the real length of axon. In the case all fibers of the bundle have equal number of Ranvier nodes the surface of the nervous excitation wave at the bundle output will retain the input shape, independent on the fiber lengthes, i.e. the nerve will transfer the pattern the way a fiber-glass bundle with plane-parallel ends does.

Transformations of the wave field, which give the refraction surface the features of the lens, take place when the plane wave front becomes concave or convex after reafraction. Formation of the concave front corresponds to the refractor playing the role of converging lens, while the convex front corresponds to diverging lens. At that, the reason of why the wave front has become, for example, concave, is less significant, as it does not change the result. The reason can be not only a spherical shape of the considered brain nucleus but also the increase of the number of Ranvier nodes from peripheral fibers of supplying nerve to the central ones, that delays the signal of central fibers more. This should be kept in mind when studying the anatomy of certain bundles and nuclei.

Рис. 3.3. Схема нейро-оптического преобразователя Фурье.

Fig. 3.3. A scheme of neuro-optical Fourier transformer.

Можно заметить, что теоретическая поверхность формирования Фурье-образа несколько не совпадает с задней поверхностью ядра, на которой начинается отводящий пучок нейронов. С отклонением точек поверхности формирования изображения от

It can be noted that theoretical surface of Fourier-pattern formation somehow does not coincide with the nucleus posterior surface on which the withdrawing neural bundle begins. In engineering and in our visual system one must often put up with deviation of the image formation surface points from the surface of location

поверхности расположения чувствительных элементов часто приходится мириться и в технике, и в нашей зрительной системе. Например, плоский киноэкран проецируется в глаз как плоскость, но воспринимается сферической поверхностью сетчатки. Возникает аберрация, которую условно можно назвать кривизной поля.

В действительности кривизной поля называют противоположный случай – когда фоточувствительные элементы расположены в плоскости, а поверхность формирования резкого изображения искривлена, но по результатам эти ситуации равноценны.

Как правило, ядра мозга не имеют формы строгой сферы. Это может ухудшать качество Фурье-преобразования, а может и улучшать его. С таких позиций мозг изучен недостаточно. Например, если радиус кривизны задней поверхности ядра окажется вдвое большим, чем радиус передней поверхности, то при указанном соотношении скоростей волн это как раз будет соответствовать идеальному совпадению начальных точек отводящего пучка нейронов с теоретической поверхностью формирования Фурье-образа.

При определении формы ядра, обеспечивающей теоретически точное Фурье-преобразование, важно учитывать и конкретные коэффициенты преломления, т.е. реальное изменение скорости распространения нервного возбуждения при переходе от пучка волокон к нейронам ядра. Разным коэффициентам преломления соответствуют разные формы идеального ядра-преобразователя.

* * *

В последующих главах будут приведены данные, убеждающие в реальности выполнения мозгом прямых и обратных двумерных преобразований Фурье. Труднее, при сегодняшней технике эксперимента, доказать, что эти преобразования выполняются именно ядрами мозга. Хорошим доводом могло бы стать расчётное сопоставление реальной формы ядра с графиком изменений скорости волны нервного возбуждения, при условии набора статистики по разным ядрам. Пока такие данные автору не известны.

of the sensitive elements. For example, a flat motion-picture screen is projected in the eye as a plane but perceived by a spherical surface of the retina. The aberration takes place, which can be conditionally called the field curvature.

In fact, the field curvature is the opposite case when solar cells are arranged in the plane, while the surface of sharp image formation is curved. However, both situations are equivalent by results.

As a rule, the brain nuclei do not have a strict sphere shape. This can deteriorate the Fourier transform as well as improve it. In these terms the brain has not been studied enough. For example, if the curvature radius of the nucleus posterior surface appears twice as large as the radius of the anterior surface, then at given ratio of wave velocities it will exactly correspond to the ideal coincidence of initial points of withdrawing neuron bundle with theoretical surface of Fourier-pattern formation.

In determining the nucleus shape that ensures theoretically exact Fourier transform one should also allow for specific refraction factors, i.e. real variation of the nervous excitation propagation velocity when passing from the fiber bundle to the nucleus neurons. Different shapes of ideal nucleus-transformer correspond to different refraction factors.

* * *

The following chapters present the data convincing of the feasibility of performing direct and inverse 2D Fourier transforms by the brain. However, with the available experiment technique, it is difficult to prove that these transforms are performed exactly by the brain nuclei. A good argument for that could be the calculated correlation of the real nucleus shape with the nervous excitation wave velocity curve, providing statistics on different nuclei. So far, such data is unknown for the author.