МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Г
осударственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
Академия
сервиса и экономики
Кафедра «Высшая математика»
Н.Ю. Кропачева
Г.А. Петросян
Элементы математической статистики
Учебное пособие
по изучению курса высшей математики
Санкт-Петербург
2004
Одобрено на заседании кафедры «Высшая математика», протокол №2 от 05.10.2003 г.
Утверждены Методическим советом ИЭУПС, протокол №3 от 03.11.2003 г.
Кропачева Н.Ю., Петросян Г.А. Элементы математической статистики. Учебное пособие по изучению курса высшей математики. – СПб.: Изд-во СПбГАСЭ, 2004. – 79 с.
Учебное пособие охватывает основные разделы курса математической статистики, который читается студентам Академии Сервиса и Экономики. Данное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по всем специальностям дневной и заочной форм обучения Академии. В учебном пособии излагаются основные понятия и методы, необходимые для анализа данных; на отдельных примерах рассматриваются постановки задач и их решение. Учебное пособие может быть использовано для первого знакомства с методами математической статистики, оно дает представление об основных статистических методах, их возможностях и границах применения.
Внимательное ознакомление с данным учебным пособием поможет при самостоятельной работе по изучению данного курса, а также при выполнении контрольных заданий по математической статистике. Разнообразные примеры решения задач, иллюстрирующие теоретический материал, аналогичны задачам контрольных работ. В конце пособия представлены задания для контрольной работы, многие из которых имеют содержательное описание. В приложении к пособию приведен ряд таблиц, необходимых для выполнения контрольных работ.
Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Ю. Кропачева;
ст. преп. Г.А. Петросян
Рецензенты: д-р экон. наук, проф. В.А. Черненко;
канд. физ.-мат. наук В.Г. Сережина
Редакционно-издательский отдел
Санкт-Петербургская государственная академия сервиса и экономики
2004 г.
Содержание
Содержание 3
§1. Предмет математической статистики 4
§2. Выборочная совокупность и ее характеристики 6
§3. Законы распределения выборочных характеристик 18
§4. Статистическое оценивание числовых характеристик случайной величины и закона распределения 23
§5. Статистические гипотезы 30
§6. Методы регрессионного и корреляционного анализа 39
Контрольные задания 48
Рекомендуемая литература 76
2. Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И. Математическая статистика. – Новосибирск, 2000. 76
«Совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при некоторых общих условиях к результату почти независящему от случая».
А.Н. Колмогоров (1903-1987)
§1. Предмет математической статистики
Для решения задач, связанных с анализом информации при наличии фактора случайности, разработана совокупность методов, которая носит название математической статистики. Математическая статистика – это раздел математики, занимающийся разработкой методов сбора, регистрации, систематизации результатов многократных наблюдений с целью познания массовых явлений и процессов. Методы математической статистики позволяют анализировать результаты опытов (наблюдений) и на основе анализа строить оптимальные математико-статистические модели изучаемых явлений и процессов. Исследование математико-статистических моделей позволяет делать обоснованные выводы и прогнозы, решать задачи прогнозирования в различных сферах человеческой деятельности.
Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Между основными понятиями в математической статистике и теории вероятностей существует тесная взаимосвязь, которая обосновывает практическую ценность теории вероятностей и подтверждает теоретическую основу математической статистики.
Общим для статистических и вероятностных характеристик является техника их вычислений. Главное различие между ними состоит в том, что статистические характеристики относятся к эмпирическим, а вероятностные к теоретическим понятиям. Статистические характеристики - это величины, которые при соблюдении определенных условий стремятся к вероятностным. Вероятностные характеристики можно рассматривать как предельные значения сопоставимых им характеристик математической статистики при возрастании числа наблюдений или опытов.
Закономерность, проявившаяся лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной ее единичным элементам случайности, называется статистической закономерностью.
Первая теорема, установившая связь между теорией (теория вероятностей) и ее практической стороной (математическая статистика), была доказана в конце 17 века Якобом Бернулли (При соединении большого числа случайных явлений в общих характеристиках всей массы случайность исчезает в тем большей мере, чем больше соединено единичных явлений). Эта теорема дала начало развитию предельных теорем. Несмотря на колебания отдельных результатов наблюдений при повторных измерениях проявляется определенная закономерность (устойчивость). Она состоит в том, что средний результат при большом числе наблюдений не зависит от отдельных наблюдений.
Основные понятия теории вероятностей и математической статистики тождественны, но не равны в смысле их количественного выражения. Их можно сопоставить следующим образом:
Теория вероятностей |
Математическая статистика |
Генеральная совокупность |
Выборочная совокупность |
Вероятность |
Частость |
Математическое ожидание |
Средняя арифметическая (простая и взвешенная) |
Закон распределения и теоретическая функция |
Вариационный ряд распределения |
Задачи математической статистики можно разбить на три типа:
определение неизвестного закона распределения случайной величины;
определение параметров распределения и их оценка;
проверка правдоподобия гипотез о распределении статистических параметров.
Математическая статистика указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных характеристик массового явления. Методы статистического анализа являются универсальными и могут применяться в самых различных областях человеческой деятельности.