Элементы выпуклого анализа Лекция 1 Выпуклые множества и выпуклые функции

1. Выпуклые множества.

Определение 1. Множество называетсяотрезком прямой, соединяющим точки a и b и обозначается .

Определение 2. Множество называетсявыпуклым, если отрезок для любых.

Теорема 1. Пусть ,- выпуклые множества. Тогда множество- выпукло.

Теорема 2. Пусть ,- выпуклые множества,,. Тогда множество- выпукло.

Теорема 3. Пусть D - выпуклое множество, тогда его замыкание также является выпуклым множеством.

Определение 3. Линейная комбинация векторов,называетсявыпуклой комбинацией, если ,и.

Определение 4. Множество всевозможных выпуклых комбинаций любого конечного числа векторов из множества называетсявыпуклой оболочкой множества D и обозначается convD.

Очевидно, что для всякого множества , множествоconvD является выпуклым.

Множество является выпуклым тогда и только тогда, когдаD= convD.

Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество D, совпадает с convD.

Определение 5. Вектор x из выпуклого множества D называется крайней точкой множества D, если он не является выпуклой комбинацией никаких двух других векторов из D.

Легко увидеть, что любая крайняя точка выпуклого множества является его граничной точкой, но не всякая граничная точка является крайней.

2. Выпуклые функции.

Определение 1.   Функция f, определенная на выпуклом множестве , называетсявыпуклой на D, если для любых и любоговыполняется неравенство, и называетсястрого выпуклой на D, если для любых ,, и любоговыполняется неравенство.

Определение 2.   Функция f, определенная на выпуклом множестве , называетсявогнутой (строго вогнутой) на D, если функция - f является выпуклой (строго выпуклой) на D. В случае будем говорить, чтоf выпуклая (вогнутая) функция. Очевидно, что любая строго выпуклая (строго вогнутая) функция является выпуклой (вогнутой) функцией, но не наоборот.

Теорема 1.   Для того, чтобы функция f, определенная на выпуклом множестве , была выпуклой наD, необходимо и достаточно, чтобы для любой выпуклой комбинации векторов ,, выполнялось неравенство, называемое неравенством Йенсена.Теорема 2.   Пусть ,- выпуклые на выпуклом множествефункции,,. Тогда- выпуклая наD функция.

Доказательство

Пусть и. Так как все функции,- выпуклые наD, то для всех выполняются неравенстваДомножая эти неравенства на неотрицительные величиныи суммируя их поi, получим . Следовательно. Что и требовалось доказать.

Теорема 3.   Пусть ,- выпуклые на выпуклом множествефункции. Тогда- выпуклая наD функция.

Доказательство

Пусть и. Так как все функции,- выпуклые наD, то для всех выполняются неравенства. Следовательнодля всех. Из полученных неравентств имеем. Следовательно. Что и требовалось доказать.

Теорема 4.   Пусть функция одной переменной выпуклая и неубывающая на отрезке, функциявыпуклая на выпуклом множествеидля всех. Тогда- выпуклая наD функция.

Доказательство

Пусть и. Тогдав силу выпуклостинаD. Очевидно, что , поэтому, в силу монотонностии выпуклостина, имеем. Следовательно. Что и требовалось доказать.

Теорема 5.   Пусть - выпуклая нафункция,A - матрица размерности , вектор. Тогда- выпуклая функция.

Доказательство

Пусть и. Тогда

.

Что и требовалось доказать.

Далее установим связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями. Пусть . Обозначим.

Теорема 6.   Пусть f - выпуклая на выпуклом множестве функция. Тогда- выпуклое множество для любого.Определение 3.   Пусть f - функция, определенная на множестве . Множествоназываетсянадграфиком функциии f.

Теорема 7.   Для того, чтобы функция f была выпуклой на выпуклом множестве , необходимо и достаточно, чтобы ее надграфик был выпуклым множеством.