Методы отсекающих плоскостей ( Реклейтис т.1, стр. 329 ) Метод Келли

1. Генерация минимизирующей последовательности в методе Келли осуществляется таким образом, что каждая из точек является недопустимой точкой, то есть . Это является одним из недостатков метода Келли и приводит к тому, что процесс вычисления нельзя останавливать даже при достаточно больших k.

2. Сходимость к оптимальному решению по функционалу метод Келли гарантирует в том случае, если выпуклая область.

3. Последовательность областей представляет собой семейство вложенных множеств. Если это свойство выполняется , то при этом не происходит потери части допустимой области, что возможно, если множество K невыпукло.

4. С увеличением количества итераций k растет размерность задачи линейного программирования. Кроме того, при приближении к решению отсекающие плоскости начинают практически совпадать, что затрудняет решение задачи. Использование процедуры отбрасывания плоскостей позволяет уменьшать размерность задачи, но отбрасывать можно лишь те ограничения, которые не являются активными для оптимального плана предыдущей задачи.

Изложив основные моменты метода Келли, опишем последовательность действий при его работе.

Пусть функция ‑ линейная, т.е. представима в виде: . Рассмотрим следующую задачу:

, (24)

, (25)

где K‑ выпуклое множество. Замечание: если ограничения x_i>0 активны, то функции g_i(x) – вогнуты.

Алгоритм решения задачи (24)-(25) состоит в следующем:

1. Задать множество .

Решить задачу

. (26)

Задача (26) представляет собой задачу линейного программирования. Для ее решения необходимо использовать методы линейного программирования (например, симплекс-метод). Пусть ‑ решение задачи (26).

Для k=1,2,… выполнить следующую последовательность шагов.

2. Вычислить индекс следующим образом:

, где ‑ решение задачи на k-й итерации.

Проверить условие окончания вычислений: если , то прекратить вычисления. В противном случае перейти к пункту 3.

3. Построить отсекающие плоскости следующего вида:

.

Пусть ‑ полупространство вида:

.

Сформулировать новую систему ограничений вида: . Решить задачу линейного программирования вида:

.

Перейти к пункту 2.

В случае, если нелинейная функция, то вместо задачи

,

рассматривается задача

, (27)

. (28)

Таким образом, задача (27)-(28)дставляет собой задачу с линейной функцией цели.

Пример 2. Решить методом Келли следующую задачу: [ Реклейтис т.1, с. 333-335 ]

,

.

Как видно из Рис. 2, допустимая область этой задачи лежит в прямоугольнике . Функции и вогнутые. Зафиксировав некоторое малое , перейдем к пункту 1 алгоритма, полагая .

Рисунок 2

Итерация 1. Найдем минимум функции при ограничениях , .

Очевидно, что решением является точка .

Поскольку , , наиболее сильно нарушается ограничение . Значит, p=2.

Отсекающая плоскость задается при помощи линеаризации в точке , так что .

Таким образом, необходимо добавить ограничение: .

Заметим, что точка не удовлетворяет этому ограничению. Теперь следует решить подзадачу:

, (29)

. (30)

Оптимальная точка задачи (29)-(30): .

Итерация 2. , . Ясно, что первое ограничение нарушается сильнее, причем величина невязки велика, поэтому необходимо продолжать выполнение итераций алгоритма.

Уравнение отсекающей плоскости имеет следующий вид:

. Она отделяет точку от допустимой области K⁽²⁾.

Третья промежуточная подзадача ЛП:

, (31)

. (32)

Оптимальное решение задачи (31)-(32): .

Выполнение итераций продолжается до тех пор, пока ограничения не удовлетворятся с предписанной точностью . Точка представляет собой точное решение.

Результаты выполнения последовательных итераций можно записать в следующем виде:

Номер подзадачи
1	5	4	-9.000
2	2.625	4	-6.625
3	2.971	2.618	-5.589
4	2.343	2.461	-4.804
5	2.516	2.050	-4.566
	2.500	2.000	-4.500

Из рассмотрения таблицы следует, что движение к оптимуму происходит с ростом значения целевой функции на каждой итерации. Причина этого состоит в последовательном сокращении допустимой области подзадач, что приводит к росту оптимальных решений подзадач.

8