Моп_Л5_2сПМ.doc из 8_Опорные_векторы.rtf, 6_Экстремальные_свойства_ВФ_сент_9_2008.rtf, 5_Конусы_РВН_сент_9_2008.rtf
Лекция 5
Тема 5. Конусы релаксационных и возможных направлений.
Определение 1.Пусть функция определена на. Векторназываетсярелаксационным направлением (направлением убывания) функции в точке, если существует числотакое, что для любоговыполняется неравенство.
Обозначим множество релаксационных направлений функции в точке через .
Теорема 1. Пусть функция выпукла на. Тогда для любого множество– выпуклый конус.
Доказательство. Пусть вектор ,число .Тогда согласно определению 1 имеем
для любого ,то есть вектор .
Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пусть векторы .Согласно определению 1 найдутся такие, что при всех и при всех . Таким образом, оба неравенства справедливы при всех ,где . В силу выпуклости функции имеем
.
Следовательно, ,то есть при всех , где . Итак, . Что и требовалось.
Релаксационные направления часто используются как при исследовании задач на минимум, так и в различных методах численного решения оптимизационных задач. В случае, когда решается задача максимизации, используютсянаправления возрастания функции в точке, удовлетворяющие неравенству при .
Определение 1 не всегда позволяет непосредственно отыскивать релаксационные направления функции или устанавливать их отсутствие. Для выпуклых дифференцируемых функций в этом может помочь следующая теорема.
Теорема 2.Пусть – выпуклая дифференцируемая в точкефункция. Тогда
. (1)
Доказательство. Докажем сначала включение во множество. Пусть . Тогда существуеттакое, что,. Из теоремы 4.1 получаем. Из этих двух неравенств и следует. Что и требовалось.
Докажем обратное включение. Пусть имеет место неравенство . Так как по условию функция дифференцируема в точке , имеем, где. Поэтому, для достаточно малых знак приращения функции совпадает со знаком произведения. Тогда существуеттакое, что,, то есть. Что и требовалось.
Заметим, что при доказательстве второго включения выпуклость функции не использовалась.
Заметим также, что в условиях теоремы 2 при конус является открытым полупространством.
Наконец, легко увидеть, что если функция вогнута и дифференцируема в точке , то вектор является направлением возрастания функции в точке тогда и только тогда, когда выполняется неравенство .
В случае, когда функция линейна (), а значит, выпукла и вогнута одновременно, неравенствозадает конус направлений убывания, а– конус направлений возрастания в любой точке.
Определение 2.Пусть – множество из, точка. Векторназываетсявозможным направлением в точке для множества, если существует числотакое, чтодля любого.
Обозначим множество возможных направлений в точке для множества через .
Теорема 3.Пусть – выпуклое множество,. Тогда– выпуклый конус.
Доказательство. Пусть вектор ,число .Тогда согласно определению 1 имеем для любого ,то есть вектор .
Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пусть векторы .Согласно определению 2 найдутся такие, что при всех и при всех . Таким образом, эти включения справедливы при всех ,где . В силу выпуклости множества имеем , то есть при всех , где . Таким образом, . Что и требовалось.
Заметим, что если , то .
Теорема 4.Если–выпуклое множество, точки, то вектор.
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определений выпуклого множества и возможного направления.
При исследовании задач на условный экстремум нам понадобятся так называемые условно релаксационные направления.
Определение 3.Пусть функция определена на множестве, точка. Векторназываетсяусловно релаксационным направлением функции в точкеотносительно множества, если в этой точке направлениеявляется возможным дляи релаксационным для функции.
Обозначим множество условно релаксационных направлений функции в точке через .Итак,, а значит, в условиях теорем 1 и 3 множествоявляется выпуклым конусом.