Как найти угол между плоскостями?

Две пересекающиеся плоскости   образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов можно считать углом между плоскостями. Иными словами, острый или тупой угол получится – не имеет значения.

Обозначим угол между плоскостями через  : Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на урокеСкалярное произведение векторов:

Распишем формулу в коэффициентах:

И всего-то. Формула простецкая, придумаем задачку поинтереснее:

Пример 13

Найти угол между плоскостями 

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё.

Взаимное расположение трёх плоскостей

Три плоскости могут располагаться в пространстве 8-ю способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений  , которая имеет единственное решение.

Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты!

На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве.

Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам: Ответ: 

Пример 4: Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам  : Ответ: 

Пример 7: Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси  , то вектор   является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке   и вектору нормали  : Ответ: 

Пример 11: Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два: Используем формулу  Ответ: 

Пример 13: Решение: Обозначим  . Используем формулу: Ответ: 

Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задачпреимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии  прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2-х томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и книга окажет неоценимую помощь.

Оба учебника можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.