Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми

Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые. На уроке Уравнение прямой на плоскости мы познакомились с основными видами уравнений, направляющим вектором прямой и её вектором нормали. Данная статья является логическим продолжением темы, и в ней будут разобраны следующие типовые задачи:

Как определить взаимное расположение двух прямых? Как построить прямую, параллельную данной? Как найти точку пересечения двух прямых? Как построить прямую, перпендикулярную данной? Как найти расстояние от точки до прямой? Как построить точку, симметричную относительно прямой? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми? Как найти угол между двумя прямыми?

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые плоскости, заданные уравнениями в общем виде:

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными:  ;

3) или пересекаться в единственной точке:  .

Справка для чайников: пожалуйста, запомните математический знак пересечения  , он будет встречаться очень часто. Запись   обозначает, что прямая   пересекается с прямой   в точке  .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства 

Рассмотрим прямые   и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов:  . Из каждого уравнения следует, что  , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения   умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения   сократить на 2, то получится одно и то же уравнение:  .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных   пропорциональны:  , но  .

В качестве примера рассмотрим две прямые  . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных  :

Однако совершенно очевидно, что  .

Вывод: 

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных   НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 

Так, для прямых   составим систему:

Из первого уравнения следует, что  , а из второго уравнения:  , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных   не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов. Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений   найдём направляющие векторы прямых:  .

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , значит, векторы   не коллинеарны и прямые   пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

1) Если мало что понятно, начните со статьи Векторы для чайников. 2) Если не понятно, как находить направляющие векторы прямых, прошу посетить урокУравнение прямой на плоскости. 3) Если неясно, причём тут определитель, вам сюда – Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов.

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых  :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных   пропорциональны, при этом  .

Выясним, справедливо ли равенство  :

Таким образом, 

в) Найдем направляющие векторы прямых  :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов  . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений:  .

Теперь выясним, справедливо ли равенство  . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение   удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ: 

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент: