20. Решение задач линейного программирования графическим методом

F=2х₁+3х₂max}

х₁+3х₂18}

2х₁+х₂16}

х₂5}

3 х₁21}

х₁, х₂≥0}

1. Построение допустимого множества решений. Т. к. х₁, х₂≥0, то рассматривается I координатная четверть. OABCDE – допустимое множество решений; О(0;0); А(0,5); Е(7,0); В(3,5); D(7,2); С(6,4).

Каждое неравенство системы задает на плоскости полуплоскость. При решении системы на плоскости получается некоторое множество – допустимое множество решений.

aх₁+bх₂c

aх₁+bх₂=c – определяющая прямая

х₁ 0?

х₂ ?0

М – производная точка, проверяются ее координаты в неравенство.

• х₁+3х₂18

х₁+3х₂=18

х₁ 0 18 6

х₂ 6 0 4

М(1,1)-уд.

• 2х₁+х₂16

2х₁+х₂=16

х₁ 0 8 6

х₂ 16 0 4

М(2,2)-уд.

• х₂5

• 3 х₁21

х₁7

2. Построение вектора-градиента к линии уровней для целевой ф-ции.

F=F(х₁,х₂); F=

F=F(х₁,х₂)=с₁х₁+с₂х₂

grad F = (c₁,c₂)

grad F = (x₁,x₂)

F(х₁,х₂)=const – линия уровней

2х₁+3х₂=с

2х₁+3х₂=0}

2х₁+3х₂=6}

2х₁+3х₂=-12}

…

Это бесконечной семейство параллельных друг другу прямых.

Всё семейство перпендикулярно вектору-градиенту.

3. Нахождение оптимального решения

Оптимальная точка – одна из точек-вершин многоугольника OABCDE. Оптимальная точка – точка последнего касания линии уравнений в направлении вектора-градиента.

Fmax=F(c)=F(6,4)=12+12=24.

Таким образом, необходимо выпустить р₁ в кол-ве 6 ед., р₂ в кол-ве 4 ед., при этом суммарная прибыль = 24.

21. Общая задача линейного программирования

Рассмотрим ЗЛП в компактной форме:

F= max(min)}

≥,,=b_j}

=( )0}

ЗЛП при условии, что все переменные неотрицательные, система ограничений – система неравенств со знаком , а целевая функция – на максимум, называется стандартной.

ЗЛП при условии того, что все переменные положительные, система ограничений состоит только из ур-ий, а целевая функция – на максимум, называется каноническая.

Теорема. ЗЛП может быть сведена к канонической или стандартной задаче.

Правила сведения ЗЛП к канонич. виду:

1. для того, чтобы перейти от нахождения min к max и наоборот, достаточно умножить коэф-ты целевой ф-ции на (-1). При этом исходная и полученная задачи имеют одно и то же оптимальное решение, а значения целевых ф-ций на этом решении (опт. решения) отличаются друг от друга только знаком.

2. При переходе от неравенства к ур-ю вводятся доп. переменные.

3. Неотрицательности переменных можно добиться путем перехода от к = , где , ≥0

22. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

P_j j=

S_i i=

x_j – кол-во продукции P_j

b_i – запасы ресурса S_i

a_ij – расход ресурса S_i на выпуск единицы продукции P_j

с_j – прибыль от реализации единицы продукции P_j

F_n= max}

b_i, i= }

≥0; j= }

ЭММ: составить х=(х₁,…,х_n), при кот. прибыль (выручка) от реализации продукции будет max при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов. Это исходная задача. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S_i и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы. y_i – оптимальная цена ресурса S_i. очевидно, покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы S_i в количествах b_i по ценам y_i были минимальны.

G=b₁y₁+ b₂y₂+…+ b_my_m= min

С другой стороны, предприятие-продавец заинтересовано в том, чтобы полученная выручка от продажи ресурсов была не менее той суммы, кот. предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию.

P₁:

Общая стоимость ресурса: а₁₁у₁+ а₂₁у₂+…+ а_m1у_m≥с₁

P_j: а_1jу₁+ а_2jу₂+…+ а_mjу_m≥с₁  j=

≥c_j j=

≥0 i=

ЭММ: найти такой набор цен ресурсов у=(у₁,…,у_m), при котором общие затраты на ресурсы будут min при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции. Цены - оценки ресурсов или неявные цены ресурсов. Это двойственная задача.